Question

已知抛物线y=

1

4

x2，以M （-2，1）为直角顶点作该抛物线的内接直角三角形MAB（即M，A，B均在抛物线上），求证：直线AB过定点，并求出该定点坐标．

Answer 1

分析：将一次函数与二次函数组成方程组，得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系建立起系数与根的关系，又知两直线垂直，可得比例系数之积为-1，列出关于x、y的方程，利用根与系数的关系将方程转化为直线的解析式，再判断其所过定点．

解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的解析式为y=kx+b，
由

y=kx+b y= 1 4 x2

得x²-4kx-4b=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4b，
∴y1+y2=

1

4

x12+

1

4

x

2 2

=

1

4

[(x1+x2)2-2x1x2]=4k2+2b，

y1y2= 1 4 x12 1 4 x 2 2 = 1 16 (x1x2)2=b2

…（3分），
∵AM⊥BM，
∴

KAM×KBM=-1

，
∴

y1-1

x1+2

×

y2-1

x2+2

=-1，
∴（y₁-1）（y₂-1）+（x₁+2）（x₂+2）=0…（5分），
∴x₁x₂+2（x₁+x₂）+4+y₁y₂-（y₁+y₂）+1=0，
∴

b2-6b-4k2+8k+5=0

，
∴（b-3）²=4（k-1）²，
∴

b-3=2(k-1)，b-3=-2(k-1)

，
则b=2k+1或b=-2k+5，代入y=kx+b得，
∴

y=kx+2k+1，y=kx-2k+5

，
∴

y=(x+2)k+1，y=(x-2)k+5

，
∵x≠-2．
则直线AB的解析式为y=（x-2）k+5，且知过定点（2，5）．

点评：本题考查了一次函数与二次函数的性质及根与系数的关系，此题设计知识面广，各种知识错综复杂交织在一起，要有恒心和毅力并有足够的经验方可解答．