题目内容

已知抛物线y=x2+bx+c交y轴于点A，点A关于抛物线对称轴的对称点为B（3，-4），直线y=
14
x与抛物线在第一象限的交点为C，连接OB．
（1）填空：b=
 
，c=
 
；
（2）如图（1），点P为射线OC上的动点，连接BP，设点P的横坐标为x，△OBP的面积为S，求S关于x的函数关系式；
（3）如图（2），点P在直线OC上的运动，点Q在抛物线上运动，问是否存在P、Q，使得以O，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
精英家教网
分析：（1）根据B点坐标及抛物线的对称性，可求A点坐标，将A、B两点坐标代入抛物线解析式，解方程组可求b、c；
（2）连接AB，作PD⊥y轴，则D（0，
1
4
x），在梯形ABPD中，分别计算梯形、两个直角三角形的面积，利用割补法表示△OBP的面积S；
（3）因为AB=3，根据PQ∥AB，PQ=AB，求出满足条件的P点坐标．
解答：解：（1）已知B（3，-4），根据抛物线的对称性可知A（0，-4），
将A、B两点坐标代入抛物线解析式，得
c=-4
9+3b+c=-4
，解得b=-3，c=-4；精英家教网

（2）作PD⊥y轴，则D（0，
1
4
x）
梯形ABPD面积=
1
2
（x+3）（
1
4
x+4）=
1
8
x2+
19
8
x+6
△AOB面积=
1
2
×3×4=6
△DOP面积=
1
2
×x×
1
4
x=
1
8
x2
∴S=梯形ABPD面积-△AOB面积-△DOP面积=
19
8
x

（3）存在．设P（4y，y），Q（x，x2-3x-4），
则OB=PQ，OQ=BP，
∵B（3，-4），
∴OB=5，
∴PB2=（4y-3）2+（y+4）2=x2+（x2-3x-4）2，①
OB2=（4y-x）2+（x2-3x-4-y）2=25，②
①②联立得，
4y=8
y=2
，
4y=
5
4
y=
5
16
，
4y=-
11
4
y=-
11
16
，
4y=
11
4
y=
11
16
．
故P1（8，2），P2（
5
4
，
5
16
），P3（-
11
4
，-
11
16
），-P4（
11
4
，
11
16
）．
点评：本题考查了待定系数法求抛物线解析式的方法，坐标系中，面积的表示方法及平行四边形性质的运用．
练习册系列答案
相关题目
已知抛物线y=x2-8x+c的顶点在x轴上，则c等于（　　）
A、4B、8C、-4D、16
已知抛物线y=x2+（1-2a）x+a2（a≠0）与x轴交于两点A（x1，0）、B（x2，0）（x1≠x2）．
（1）求a的取值范围，并证明A、B两点都在原点O的左侧；
（2）若抛物线与y轴交于点C，且OA+OB=OC-2，求a的值．
如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，且OA=OB．
精英家教网（1）求b+c的值；
（2）若点C在抛物线上，且四边形OABC是平行四边形，试求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，作∠OBC的角平分线，与抛物线交于点P，求点P的坐标．
（2012•虹口区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2+bx+c经过A（0，3），B（1，0）两点，顶点为M．
（1）求b、c的值；
（2）将△OAB绕点B顺时针旋转90°后，点A落到点C的位置，该抛物线沿y轴上下平移后经过点C，求平移后所得抛物线的表达式；
（3）设（2）中平移后所得的抛物线与y轴的交点为A1，顶点为M1，若点P在平移后的抛物线上，且满足△PMM1的面积是△PAA1面积的3倍，求点P的坐标．
（2012•黔南州）已知抛物线y=x2-x-1与x轴的交点为（m，0），则代数式m2-m+2011的值为（　　）

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网