Question

【题目】梯形中，，，，，、在上，平分，平分，、分别为、的中点，和分别与交于和，和交于点．

（1）求证：；

（2）当点在四边形内部时，设，，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（3）当时，求的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）3或．

【解析】

（1）由中位线的性质，角平分线的定义和平行线的性质得出，易证，则结论可证；

（2）过作交于点K，过点D作交于点，则得到矩形，则有，，然后利用（1）中的结论有， ，在中，利用含30°的直角三角形的性质可得出QC，DQ的长度，然后在中利用勾股定理即可找到y关于x的函数关系式；

（3）分两种情况：点在梯形内部和点在梯形内部，当点在梯形内部时，有；当点在梯形内部时，有 ，分别结论（2）中的关系式即可求出EG的长度．

（1）证明：、分别是、的中点，

．

平分，

．

又，

，

，

．

点是的中点，

．

．

（2）过作交于点K，过点D作交于点，

∵，，，

∴四边形是矩形，

，．

，，

，

同理：．

在中，

，

，，

．

，

．

在中，．

，

即．

．

（3）①点在梯形内部．

∵是梯形的中位线，

，

即．

解得：，

即．

②点在梯形内部．

同理：．

解得：，

即．

综上所述，EG的长度为3或．