Question

小丽参加数学兴趣小组活动，提供了下面3个有联系的问题，请你帮助解决：
（1）如图1，正方形ABCD中，作AE交BC于E，DF⊥AE交AB于F，求证：AE=DF；
（2）如图2，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，点G，H分别在AB，CD上，且EF⊥GH，求的值；
（3）如图3，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点E，F分别在AD，BC上，且EF⊥GH，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）证明AE=DF，只要证明三角形ABE和DAF全等即可．它们同有一个直角，且AB=AD，又因为∠AEB=90°-∠BAE=∠AFD，这样就构成了全等三角形判定中的AAS，两三角形就全等了；
（2）可通过构建与已知条件相关的三角形来求解．作AM∥EF交BC于M，作DN∥GH交AB于N，那么AM=EF，DN=GH，（1）中我们已证得△ABM、△DAN全等，那么AM=DN，即EF=GH，它们的比例也就求出来了；
（3）做法同（2）也是通过构建三角形来求解．作AM∥EF交BC于M，作DN∥GH交AB于N，只不过证明三角形全等改为了证明其相似．解题思路和步骤是一样的．
解答：（1）证明：∵DF⊥AE
∴∠AEB=90°-∠BAE=∠AFD
又∵AB=AD，∠ABE=∠DAF=90°
∴△ABE≌△DAF，∴AE=DF；

（2）解：作AM∥EF交BC于M
作DN∥GH交AB于N
则AM=EF，DN=GH
由（1）知，AM=DN
∴EF=GH，即

（3）解：作AM∥EF交BC于M
作DN∥GH交AB于N
则AM=EF，DN=GH
∵EF⊥GH
∴AM⊥DN
∴∠AMB=90°-∠BAM=∠AND
又∵∠ABM=∠DAN=90°
∴△ABM∽△DAN
∴
∴．
点评：本题中（1）（2）和（3）虽然所求不一样，但是解题思路和步骤是一样的，都是通过构建与已知和所求的条件相关的三角形，然后证明其全等或相似来得出线段间的相等或比例关系．