Question

如图：已知反比例函数y=-

2

x

（x＜0）和y=

k

x

（x＞0），直线OA与双曲线y=-

2

x

（x＜0）交于A点，将直线OA向上平移使其分别交双曲线于B、C两点，与y轴交于P，且S_△ABC=4，

BP

CP

=

2

3

，则k=

 

．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：设A（x_a，y_a），B（x_b，y_b），C（x_c，y_c），则有x_ay_a=x_by_b=-2，x_cy_c=k，根据OA∥BC，可得

ya

xa

=

yb-yc

xb-xc

，再由S_△ABC=S_梯形AFEB+S_梯形BEDC-S_梯形AFDC=4
，可得y_ax_b-x_ay_b+y_bx_c-y_cx_b-y_ax_c+x_ay_c=8 ②，联立①②得：y_bx_c-y_cx_b=8 ③，再由

BP

CP

=

2

3

，得

-xb

xc

=

2

3

，即x_b=-

2

3

x_c，代入可得出x_cy_c的值，即得出k的值．

解答：解：设A（x_a，y_a），B（x_b，y_b），C（x_c，y_c），则有x_ay_a=x_by_b=-2，x_cy_c=k．
由平移性质，可得OA∥BC，
∴

ya

xa

=

yb-yc

xb-xc

，
整理得：y_ax_b-y_ax_c=x_ay_b-x_ay_c ①
过点A作AF⊥x轴于点F，BE⊥x轴于点E，CD⊥x轴于点D．
∵S_△ABC=S_梯形AFEB+S_梯形BEDC-S_梯形AFDC=4
∴

1

2

（AF+BE）•EF+

1

2

（BE+CD）•DE-

1

2

（AF+CD）•DF=4，
即：

1

2

（y_a+y_b）•（x_b-x_a）+

1

2

（y_b+y_c）•（x_c-x_b）-

1

2

（y_a+y_c）•（x_c-x_a）=4，
整理得：y_ax_b-x_ay_b+y_bx_c-y_cx_b-y_ax_c+x_ay_c=8 ②
由①②式得：y_bx_c-y_cx_b=8 ③
由

BP

CP

=

2

3

，易得

-xb

xc

=

2

3

，即x_b=-

2

3

x_c，
∴yb=

-2

xb

=

3

xc

，
代入③式得：3+

2

3

x_cy_c=8，
∴x_cy_c=

15

2

，
即k=

15

2

．
故答案为：

15

2

．

点评：本题考查了反比例函数的综合，涉及了平行线的性质，点的坐标与线段长度的转换及不规则面积的求解，解答本题的关键是数形结合思想及整体代入思想的运用，难度较大．