Question

如图1，若四边形ABCD、四边形CFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AG⊥CE.

1.当正方形GFED绕D旋转到如图2的位置时，AG=CE， AG⊥CH是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

2.当正方形GFED绕D旋转到如图3的位置时，延长CE交AG于H，交AD于M.当AD=4，DG=时，求CH的长。

 

Answer 1

 

1.AG=CE， AG⊥CH成立

2.CH=

解析:解：（1）成立．

四边形、四边形是正方形，

∴    ……………1分

∠∠.

 ∴∠90°-∠∠.                          ……………2分

∴△△.

 ∴.               ……………3分

（1）可得△△，

∴∠1＝∠2              …………………4分

又∵∠＝∠. 

∴∠∠＝.

即            …………………5分

（1）解法一: 过作于,

（2）

由题意有,

∴，则∠1＝.   ………6分

而∠1＝∠2，∴∠2＝＝∠1＝.

∴　，即.         …………………7分

在Rt中，＝＝,………8分

而∽,∴,　即,　　　　

∴.　                                …………………9分

再连接，显然有,

∴.

所求的长为.                            …………………10分

解法二：研究四边形ACDG的面积

过作于,

由题意有,

∴,.        ………………8分

而以CD为底边的三角形CDG的高=PD=1,

,

∴4×1+4×4=×CH+4 ×1.

∴=.               ………………10分