Question

【题目】如图，四边形 ABCD 中，∠C=90°，AD⊥DB，点 E 为 AB 的中点，DE∥BC．

（1）求证：BD 平分∠ABC；

（2）连接 EC，若∠A =，DC=3，求 EC 的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）直接利用直角三角形的性质得出DE＝BE＝AB，再利用DE∥BC，得出∠2＝∠3，进而得出答案；
（2）利用已知得出在Rt△BCD中，∠3＝60°，DC＝3，解直角三角形得出DB的长，进而利用勾股定理得出EC的长．

（1）证明：∵AD⊥DB，点E为AB的中点，
∴DE＝BE＝AB．
∴∠1＝∠2．
∵DE∥BC，
∴∠2＝∠3．
∴∠1＝∠3．
∴BD平分∠ABC．

（2）解：∵AD⊥DB，∠A＝30°，
∴∠1＝60°．
∴∠3＝∠2＝60°．
∵∠BCD＝90°，
∴∠4＝30°．
∴∠CDE＝∠2＋∠4＝90°．
在Rt△BCD中，∠3＝60°，DC＝3，
∴DB＝．
∵DE＝BE，∠1＝60°，

∴△BDE是等边三角形，
∴DE＝DB＝．
∴EC＝．