题目内容
如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（0，3），C（
，0）．将矩形OABC绕原点顺时针旋转90°，得到矩形
．设直线
与
轴交于点M、与
轴交于点N，抛物线
的图象经过点C、M、N．解答下列问题：
（1）分别求出直线和抛物线所表示的函数解析式；
（2）将△MON沿直线MN翻折，点O落在点P处，请你判断点P是否在抛物线上，说明理由．
（3）将直线MN向上平移，使它与抛物线只有一个交点，求此时直线的解析式．
（4）点P是x轴上方的抛物线上的一动点，连接P M，P N ，设所得△PMN的面积为S．
①求S的取值范围；
②若△PMN的面积S为整数，则这样的△PBC共有 个．
【解析】
试题分析：（1）由题意可知B，B′的坐标，可用待定系数法求得一次函数的解析式．由一次函数解析式可得到M，N两点的坐标，代入二次函数即可求得二次函数的解析式；
（2）设P点坐标为（x，y），连接OP，PM，由对称的性质可得出OP⊥MN，OE=PE，PM=OM=5，再由勾股定理求出MN的长，由三角形的面积公式得出OE的长，利用两点间的距离公式求出x、y的值，把x的值代入二次函数关系式看是否适合即可；
试题解析：（1）由题意得，B（-1，3），B′（3，1），
∴直线BB′的解析式为y=-
x+
，
直线BB′与x轴的交点为M（5，0），与y轴的交点N（0，），
设抛物线的解析式为y=a（x-5）（x+1），
∵抛物线过点N，
∴=a×（-5）×1，
∴a=-，
∴抛物线的解析式为y=-（x-5）（x+1）=-x2+2x+；
（2）设P点坐标为（x，y），连接OP，PM，OP交NM于E，
∵O、P关于直线MN对称，
∴OP⊥MN，OE=PE，PM=OM=5，
∵N（0，），M（5，0），
∴MN=
，OE=
，
∴OP=2OE=2
，
∴OP=
①，
PM=
=5②，
①②联立，解得
，
把x=2代入二次函数的解析式y=-
x2+2x+
得，y=
，
∴点P不在此二次函数的图象上；
（3）直线MN即直线B
的解析式为
,
将直线MN向上平移后的解析式为:
,
当
时，由△=0得b=
∴直线的解析式为y=—
x+
（4）①分P在MN上方和P在MN下方
P（x，
）
P在MN上方时，
∴
P在MN下方时，
0<S≤
②21．
考点：二次函数综合题.
+
=0，则
.
这几个有理数中，负数的个数是（ ）
．
与
在此二次函数的图象上，则
（填 “>”、“=”或“<”）；
，正方形ABCD的顶点C、D在x轴上， A、B恰好在二次函数的图象上，求图中阴影部分的面积之和．
