Question

如图，已知抛物线的方程C₁：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧．
（1）若抛物线C₁过点M（2，2），求实数m的值；
（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；
（3）在（1）条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标;
（4）在第四象限内，抛物线C₁上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）依题意，将M（2，2）代入抛物线解析式得：
2=﹣（2+2）（2﹣m），
解得m=4．
（2）令y=0，即（x+2）（x﹣4）=0，
解得x₁=﹣2，x₂=4，
∴B（﹣2，0），C（4，0）
在C₁中，令x=0，得y=2，
∴E（0，2）．
∴S_△BCE=BC·OE=6．
（3）当m=4时，
易得对称轴为x=1，
又点B、C关于x=1对称．
如解答图1，连接EC，交x=1于H点，
此时BH+CH最小（最小值为线段CE的长度）．
设直线EC：y=kx+b，
将E（0，2）、C（4，0）代入得：y=x+2，
当x=1时，y=，
∴H（1，）．
（4）分两种情形讨论：
①当△BEC∽△BCF时，如解答图2所示．
则，
∴BC²=BE·BF．
由（2）知B（﹣2，0），E（0，2），即OB=OE，
∴∠EBC=45°，
∴∠CBF=45°，
作FT⊥x轴于点F，
则BT=TF．
∴可令F（x，﹣x﹣2）（x＞0），
又点F在抛物线上，
∴﹣x﹣2=﹣（x+2）（x﹣m），
∴x+2＞0（∵x＞0），
∴x=2m，F（2m，﹣2m﹣2）．
此时BF==（m+1），BE=，BC=m+2，
又BC²=BE·BF，
∴（m+2）²=·（m+1），
∴m=2±，
∵m＞0，
∴m=+2．
②当△BEC∽△FCB时，如解答图3所示．
则，
∴BC²=ECBF．
同①，∵∠EBC=∠CFB，△BTF∽△COE，==，
∴可令F（x，-（x+2））（x＞0）
又点F在抛物线上，
∴-（x+2）=﹣（x+2）（x﹣m），
∵x+2＞0（∵x＞0），
∴x=m+2，
∴F（m+2，-（m+2）），EC=，BC=m+2，
又BC²=ECBF，
∴（m+2）²=
整理得：m=16，显然不成立．
综合①②得，
在第四象限内，抛物线上存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似，
m=+2．