Question

如图，已知抛物线的方程C₁：y=-（x+2）（x-m）（m＞0）与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧．
（1）若抛物线C₁过点M（2，2），求实数m的值；
（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；
（3）在（1）条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标；
（4）在第四象限内，抛物线C₁上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）将点（2，2）的坐标代入抛物线解析式，即可求得m的值；
（2）求出B、C、E点的坐标，进而求得△BCE的面积；
（3）根据轴对称以及两点之间线段最短的性质，可知点B、C关于对称轴x=1对称，连接EC与对称轴的交点即为所求的H点，如答图1所示；
（4）本问需分两种情况进行讨论：
①当△BEC∽△BCF时，如答图2所示．此时可求得m=+2；
②当△BEC∽△FCB时，如答图3所示．此时可以得到矛盾的等式，故此种情形不存在．
解答：解：（1）依题意，将M（2，2）代入抛物线解析式得：
2=-（2+2）（2-m），解得m=4．

（2）令y=0，即（x+2）（x-4）=0，解得x₁=-2，x₂=4，
∴B（-2，0），C（4，0）
在C₁中，令x=0，得y=2，
∴E（0，2）．
∴S_△BCE=BC•OE=6．

（3）当m=4时，易得对称轴为x=1，又点B、C关于x=1对称．
如解答图1，连接EC，交x=1于H点，此时BH+EH最小（最小值为线段CE的长度）．
设直线EC：y=kx+b，将E（0，2）、C（4，0）代入得：y=x+2，
当x=1时，y=，∴H（1，）．

（4）分两种情形讨论：
①当△BEC∽△BCF时，如解答图2所示．
则，
∴BC²=BE•BF．
由函数解析式可得：B（-2，0），E（0，2），即OB=OE，∴∠EBC=45°，
∴∠CBF=45°，
作FT⊥x轴于点T，则∠BFT=∠TBF=45°，
∴BT=TF．
∴可令F（x，-x-2）（x＞0），又点F在抛物线上，
∴-x-2=-（x+2）（x-m），
∵x+2＞0，
∵x＞0，
∴x=2m，F（2m，-2m-2）．
此时BF==2（m+1），BE=，BC=m+2，
又∵BC²=BE•BF，
∴（m+2）²=•（m+1），
∴m=2±，
∵m＞0，
∴m=+2．
②当△BEC∽△FCB时，如解答图3所示．
则，
∴BC²=EC•BF．
∵△BEC∽△FCB
∴∠CBF=∠ECO，
∵∠EOC=∠FTB=90°，
∴△BTF∽△COE，
∴，
∴可令F（x，（x+2））（x＞0）
又∵点F在抛物线上，
∴（x+2）=-（x+2）（x-m），
∵x+2＞0（x＞0），
∴x=m+2，
∴F（m+2，（m+4）），EC=，BC=m+2，
又BC²=EC•BF，
∴（m+2）²=•
整理得：0=16，显然不成立．
综合①②得，在第四象限内，抛物线上存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似，m=+2．
点评：本题涉及二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、轴对称-最小路径问题等重要知识点，难度较大．本题难点在于第（4）问，需要注意分两种情况进行讨论，避免漏解；而且在计算时注意利用题中条件化简计算，避免运算出错．