题目内容
【题目】如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，P为射线AB上一个动点，过P作PF⊥AC，垂足为F，交CD于点G，连接CP与BF交于点H，过点C，P，F作⊙O．
（1）当AP=5时，求证：∠CPB=∠FBC．
（2）当点P在线段AB上时，若△FCH的面积等于△PBH面积的4倍，求DG的长．
（3）当⊙O与△ADC的其中一边相切时，求所有满足条件的AP的长．
（4）当H将线段CP分成1：4的两部分时，求AP的长(直接写出结果)．
【答案】（1）见解析；（2）
；（3）
或8或 
；（4）AP=5或AP=20
【解析】
（1）利用已知易证△AFP∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例，可得到AC的长，再证明CF=CB，然后利用圆周角定理可证得结论；
（2）利用相似三角形的性质，可证得CF=2PB，设AP=5m，则AF=4m，用含m的代数式表示出PB，CF的长，据此可建立关于m的方程，解方程求出m的值，即可得到AP，AF，CF的长，再利用相似三角形的对应边成比例，可求出CG的长，即可得到DG的长；
（3）①F与C重合时，⊙O与AC相切；②P与B重合时，⊙O与DC相切，可以求出AP的长；③⊙O与AD相切时，设切点为K，如图，设AP=x，分别用含x的代数式表示出PB，OK，PC的长，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到AP的长；
（4）分情况讨论：①当点P在线段AB上时，如图1，过点P作PM∥AC交BF于点M，设AP=5m，用含m的代数式表示出AF，CF，PB，PM的长，再由PM∶AF=PB：AB，可求出m的值，即可得到AP的长；②当点P在线段AB的延长线上时，如图2，过点C作CM∥AP交BF于点M，用含m的代数式表示出AF，CF，PB，PM的长，再由PM∶AF=PB：AB，可求出m的值，即可得到AP的长.
（1）证明：∵PF⊥AC，
∴∠AFP=∠ABC=90°，
∴△AFP∽△ABC，
∴ 
，
∵AB=8，BC=AD=6，
∴AC=10，
∴当AP=5时，AF=4，
∴CF=6，
∴CF=CB，
∴
，
∴∠CPB=∠FBC；
（2）解：由题意可知△FCH∽△PBH，
∵△FCH的面积等于△PBH面积的4倍，
∴CF=2PB，
设AP=5m，则AF=4m，
∴PB=8-5m，CF=10-4m，
∴10-4m=2(8-5m)，
∴m=1，
∴AP=5，AF=4，CF=6，
∵△CFG∽△AFP，
∴CG=
，
∴DG=
；
（3）解：①F与C重合时，⊙O与AC相切，AP= 
，
②P与B重合时，⊙O与DC相切，AP=8；
③⊙O与AD相切时，设切点为K，如图，
设AP=x，则PB=8-x，OK=(8+x)
∴PC=8+x，
在Rt△PBC中，由勾股定理可以求得x=
，
∴AP= ，
综上所述，AP的长为
或8或；
（4）解：AP=5或AP=20.
①当点P在线段AB上时，如图1，过点P作PM∥AC交BF于点M，
设AP=5m，则AF=4m，CF=10-4m，PB=8-5m，
∵PH：CH=1：4，
∴PM=
(10-4m)，
再由PM∶AF=PB：AB，得m=1，∴AP=5，
②当点P在线段AB的延长线上时，如图2，过点C作CM∥AP交BF于点M，
设AP=5m，则AF=4m，CF=4m-10，PB=5m-8，
∵PH：CH=4：1，
∴CM=(5m-8)，
再由CM：AB=CF：AF，得m=4，∴AP=20.
