Question

【题目】已知抛物线y1＝ax2－2amx+am2+4，直线y2＝kx－km+4，其中a≠0，a、k、m是常数．

(1)抛物线的顶点坐标是______，并说明上述抛物线与直线是否经过同一点(说明理由)；

(2)若a＜0，m=2，t≤x ≤t+2，y1的最大值为4，求t的范围；

(3)抛物线的顶点为P，直线与抛物线的另一个交点为Q，对任意的m值，若1≤k≤4，线段PQ(不包括端点)上至少存在两个横坐标为整数的点，求a的范围．

Answer 1

【答案】(1)（m，4）；抛物线与直线都经过同一点(m，4)，理由见解析； (2)0≤t≤2；(3) 或者

【解析】

(1)先把抛物线方程化为顶点式，得到顶点坐标，再求出直线y2＝kx－km+4恒过的顶点，即可求解；

(2) 当m=2时，，再结合t≤x ≤t+2，y1的最大值为4，即可算出答案；

(3)联立抛物线和一次函数的解析式，求出交点的横坐标，再线段PQ(不包括端点)上至少存在两个横坐标为整数的点列不等式计算即可得到答案．

解：(1) 把抛物线y1＝ax2－2amx+am2+4化为顶点式为：

，

故顶点坐标为(m，4)，

又∵直线y2＝kx－km+4=k(x-m)+4，

∴直线y2＝kx－km+4恒过点(m，4)，

故抛物线与直线是否经过同一点(m，4) ．

(2)当m=2时，，

又∵a＜0，

∴抛物线开口向下，在x=2时取到最大值4，

又∵t≤x ≤t+2，y1的最大值为4，

∴

∴0≤t≤2；

(3)令 ，则有 =kx－km+4，解得 =m， =m+ ．

∵线段PQ上至少存在两个横坐标为整数的点，k>0，

∴ 或者，

又∵1≤k≤4，

∴或者；