Question

如图，抛物线y＝ax²＋bx＋c(a≠0)经过点A(－3，0)、B(1，0)、C(－2，1)，交y轴于点M．

(1)求抛物线的表达式；

(2)D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；

(3)抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：由题意可知．解得．

　　∴抛物线的表达式为y＝．

　　(2)将x＝0代入抛物线表达式，得y＝1．∴点M的坐标为(0，1)．

　　设直线MA的表达式为y＝kx＋b，则

　　．解得k＝，b＝1．∴直线MA的表达式为y＝x＋1．

　　设点D的坐标为()，则点F的坐标为()．

　　DF＝

　　＝．

　　当时，DF的最大值为．

　　此时，即点D的坐标为()．

　　(3)存在点P，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似．

　　在Rt△MAO中，AO＝3MO，要使两个三角形相似，由题意可知，点P不可能在第一象限．

　　设点P在第二象限时，∵点P不可能在直线MN上，∴只能PN＝3NM，

　　∴，即．

　　解得m＝－3(舍去)或m＝－8．又－3＜M＜0，故此时满足条件的点不存在．

　　当点P在第三象限时，∵点P不可能在直线MN上，∴只能PN＝3NM，

　　∴，即．

　　解得m＝－3或m＝8．此时点P的坐标为(－8，，15)．

　　当点P在第四象限时，

　　若AN＝3PN时，则－3，即．

　　解得m＝－3(舍去)或m＝2．

　　当m＝2时，．此时点P的坐标为(2，－)．

　　若PN＝3NA，则－，即．

　　解得m＝－3(舍去)或m＝10，此时点P的坐标为(10，，39)．

　　综上所述，满足条件的点P的坐标为(－8，，15)、(2，－)、(10，，39)．