Question

如图，△ABC和△A_lB_lC₁均为正三角形，BC和B₁C₁的中点均为D．求证：AA₁⊥CC₁．

Answer 1

证明：连接AD，延长AA₁交DC于O，交C₁C于E，
∵∠ADA₁=90°-∠A₁DC=∠CDC₁，
==，
∴△AA₁D∽△CC₁D，∠A₁AD=∠C₁CD，
又∵∠AOD=∠COE，
∴∠ADO=∠CEO=90°，即AA₁⊥CC₁．
分析：连接AD，延长AA₁交DC于O，交C₁C于E，利用特殊角的三角函数值求得==，求证△AA₁D∽△CC₁D，∠A₁AD=∠C₁CD，然后即可证明AA₁⊥CC₁．
点评：此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质和等边三角形的性质的理解和掌握，证明此题的关键是利用特殊角的三角函数值求得==，求证△AA₁D∽△CC₁D，∠A₁AD=∠C₁CD，难度较大．