Question

如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若四边形ABCD的面积是49cm²，则AC长是

 

cm．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,正方形的判定与性质

专题：

分析：过A作AE⊥BC，作AF⊥CD，交CD的延长线于点F，利用三个角为直角的四边形为矩形得到AECF为矩形，利用矩形的四个角为直角得到∠EAF为直角，利用等式的性质得到∠DAF=∠BAE，再由一对直角相等，AB=AD，利用AAS得到三角形ABE与三角形ADF全等，利用全等三角形的对应边相等得到AE=AF，可得出AECF为正方形，三角形ABE面积与三角形AFD面积相等，进而得到四边形ABCD面积等于正方形AECF面积，求出正方形的边长即为AE的长，在等腰直角三角形ACE中，利用勾股定理即可求出AC的长

解答： 解：过A作AE⊥BC，作AF⊥CD，交CD的延长线于点F，
∵∠AEC=∠AFC=∠ECF=90°，
∴四边形AECF为矩形，
∴∠EAF=90°，
∵∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠EAD=∠FAD+∠EAD=90°，
∴∠DAF=∠BAE，
在△ABE和△ADF中，

∠AEB=∠F=90° ∠DAF=∠BAE AB=AD

，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AE=AF，S_△ABE=S_△ADF，
∴四边形AECF是正方形，
∴S_{四边形ABCD}=S_{正方形AECF}=49cm²，
∴AE=7cm
∵△AEC为等腰直角三角形，
∴AC=

2

AE=7

2

cm．
故答案为：7

2

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．