题目内容
【题目】如图，抛物线 
与 
轴交于
和
，与 
轴交于 
点，点关于抛物线的对称轴的对称点为点
．
（1）求此抛物线的解析式和对称轴．
（2）如图 2，当点
在抛物线的对称轴上运动时，在直线
上是否存在点
，使得以点
、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图 3，当点
、、三点共圆时，请求出该圆圆心的坐标．
【答案】（1）
，x=1；（2）存在，点 F 的坐标为
或
或
；（3）
【解析】
（1）把点 
和
代入 
中求出解析式，再求出对称轴即可；
（2）分分三种情况讨论，作出示意图，求出点F的坐标即可；
（3）分别作 
的垂直平分线，它们的交点为 
点，点就是点 
、
、
三点共圆的圆心，先表示出EF和FM，再根据
求出即可.
解：（1）把点 和代入 ，得
解得：
，
∴抛物线的解析式为：，
∴对称轴
；
（2）存在，分三种情况讨论，
①如图 1 所示，
∵四边形
为平行四边形，
∴
可由
平移得到，点的对应点为点
，点的对应点为点 
，
∵
，点 的横坐标为 1，
∴向右平移了一个单位，
∵
，
∴点的横坐标为 0，
设直线 
的函数解析式为： 
，
把点和 
代入，得
，
解得：
，
∴直线 的函数解析式为：
，
∴当
时， 
，
∴
；
②如图 2 所示，
此时点 与点 重合，
；
③如图 3 所示，
根据平移的规律，得知点 的横坐标为﹣2，
当 
时，
，
；
综上所述：点 F 的坐标为或或；
（3）如图，分别作 的垂直平分线，它们的交点为 点，点就是点 、、 三点共圆的圆心，
∵点
是 
的中点，
,
设直线 
的解析式为： 
，
把 
代入上式，得
，
，
当 
时，
，解得：
，
，
当
时，
，
，
如图，易证得：，
，
，
，
，
当时，
,，
∴点 、、三点共线的圆的圆心坐标为.
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