Question

如图，P是等边△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转60°到BP′，已知∠AP′B=150°，P′A：P′C=2：3，则PB：P′A 是

1. A.
   ：1
2. B.
   2：1
3. C.
   ：2
4. D.
   ：1

Answer 1

C
分析：连接AP，根据同角的余角相等可得∠ABP=∠CBP′，然后利用“边角边”证明△ABP和△CBP′全等，根据全等三角形对应边相等可得AP=CP′，连接PP′，根据旋转的性质可得△PBP′是等边三角形，然后求出∠AP′P是直角，再利用勾股定理用PA′表示出PP′，又等腰三角形的三条边相等，代入整理即可得解．
解答：解：如图，连接AP，∵BP绕点B顺时针旋转60°到BP′，
∴BP=BP′，∠ABP+∠ABP′=60°，
又∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠CBP′+∠ABP′=60°，
∴∠ABP=∠CBP′，
在△ABP和△CBP′中，
∵，
∴△ABP≌△CBP′（SAS），
∴AP=P′C，
∵P′A：P′C=2：3，
∴AP=P′A，
连接PP′，则△PBP′是等边三角形，
∴∠BP′P=60°，PP′=PB，
∵∠AP′B=150°，
∴∠AP′P=150°-60°=90°，
∴△APP′是直角三角形，
设P′A=x，则AP=x，
根据勾股定理，PP′===x，
则PB=x，
∴PB：P′A=x：x=：2．
故选C．
点评：本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作辅助线构造出全等三角形以及直角三角形，把P′A、P′C以及P′B长度转化到同一个直角三角形中是解题的关键．