Question

在△ABC中，AC=2，D是AB的中点，E是CD上一点，ED=

1

3

CD，若CE=

1

3

AB且CE⊥AE，则BC=

 

．

Answer 1

分析：根据中点这个条件，把CD延长至两倍于点F，连接AF，BF，则四边形ACBF为平行四边形，由ED=

1

3

CD，CE=

1

3

AB，得AB=CF，所以ACBF为矩形．再用勾股定理列式算出a，即可求出BC的长．

解答：解：把CD延长至点F，使DF=CD．连接AF，BF．
∵AD=DB，FD=DC，
∴四边形ACBF为平行四边形，
∵ED=

1

3

CD，
∴CE=

2

3

CD，
∵CE=

1

3

AB，
∴

2

3

CD=

1

3

AB，
∴CD=

1

2

AB，
∴AB=CF，
∴ACBF只能为矩形．
设DE为a，则CE=2a，AD=3a，
算出AE²=8a²，CE²=4a²，
又因为AC=2，用勾股定理列式算出a，
∴a=

3

3

，
∴AB=6×

3

3

=2

3

，
∴BC=

(2 3 ) 2-4

=2

2

．
故答案为：2

2

．

点评：此题主要考查了重心的性质以及平行四边形的判定与矩形的判定和勾股定理的应用，根据已知得出正确的辅助线是解决问题的关键．