Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，M是BC的中点，动点P在AB边上运动（点P不与点A、B重合），过点P作PE⊥BC于E，作∠MPD=90°，PD交BC边于点D．设BP=x，PE=h．
（1）求h与x之间的函数关系式；
（2）当x为何值时，△MPD与△ABC相似？

Answer 1

分析：（1）△BMP中，BM的长易求得，关键是求BM边上的高；过P作PE⊥BC于E，易证得△BPE∽△BAC，通过相似三角形得出的成比例线段可求出PE的长，进而可求出h、x的函数关系式；
（2）所求的两个三角形中，已知∠MPD=∠ACB=90°，若使两三角形相似要分两种情况进行讨论；
一、D在BC上时：
①∠PMB=∠B，此时PM=BM，MH=BE=2，可根据相似三角形得出的成比例线段求出x的值；②∠PMB=∠A，此时△BPM∽△BCA，同①可求得x的值；
二、D在BC延长线上时：
由于∠PMD＞∠B，因此只有一种情况：∠PMD=∠BAC；当P、A重合时，易证得∠MAC=∠PDM，由于tan∠MAC=

2

3

＜tan∠B，所有∠MAC＜∠B，即当D在BC延长线上时，∠PDM总小于∠B，所有△PDM和△ABC不会相似；综合两种情况，可得出符合条件的x的值．

解答：解：（1）过P作PE⊥BC于H，则PE∥AC；
Rt△ABC中，AC=6，BC=8；则AB=10．
∵P为AB上动点可与A、B重合（与A重合BP为0，与B重合BP为10）
但是x不能等于5．
∵当x=5时，P为AB中点，PM∥AC，得到PD∥BC，PD与BC无交点，与题目已知矛盾，所以x的取值范围是，0≤x≤10 且x≠5，
易知△BPE∽△BAC，得：

PE

AC

=

BP

AB

，PE=

AC•BP

AB

=

3

5

x，
∴h=

3

5

x；

（2）当D在BC上时，
①∠PMB=∠B时，BP=PM，ME=BE=2；
MP=x，AB=10，ME=2，BC=8，
此时△MPD∽△BCA，
∴△MPD∽△MEP，
∴△MEP∽△BCA，
∴

MP

AB

=

ME

BC

，
即

x

10

=

2

8

，解得x=

5

2

，
②∠PMB=∠A时，△DPM∽△BCA，得：

DP

BC

=

DM

BA

，
，即DP•BA=DM•BC；
∴10x=4×8，解得x=

16

5

，；
当D在BC延长线上时，
由于∠PMD＞∠B，所以只讨论∠PDM=∠B的情况；
当P、A重合时，Rt△MPD中，AC⊥MD，则∠MAC=∠PDM，
∵tan∠MAC=

2

3

，tanB=

3

4

，tan∠MAC＜tanB，
∴∠MAC＜∠B，即∠PDM＜∠B；
由于当P、A重合时，∠PDM最大，故当D在BC延长线上时，∠B＞∠PDM；
所以△PDM和△ACB不可能相似；

综上所述，存在符合条件的P点，且x=2.5或3.2．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定和性质，需注意的是（2）题中，虽然当D在BC延长线上的情况不成立，但是一定要将这种情况考虑到，以免漏解．