Question

在Rt△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，∠A的平分线AD交BC于D，且AD=

6

，则∠A的对边BC=

 

．

Answer 1

分析：由D点向斜边作垂线，根据角平分线的性质得垂线段的长度等于DC，设出DC的长，然后利用勾股定理把AC表示出来，最后利用30°角所对的斜边等于直角边的一半，列出方程求得DC的长，进一步算出BC的长即可．

解答：解：如图，作DE⊥AB于E点，
∵∠C=90°，∠A的平分线AD交BC于D，
∴DE=CD，
设CD=x，由勾股定理得：AC=AE=

6-x2

，
∵∠A=30°，
∴∠B=60°，
∴BE=

3

3

x，DB=

2 3

3

x，
∴BC=CD+BD=x+

2 3

3

x
AB=AE+EB=

6-x2

+

3

3

x，
∵∠A=30°，∠C=90°，
∴AB=2BC，
即：

6-x2

+

3

3

x=2（x+

2 3

3

x）
解得：x=

3- 3

2

x，
∴BC=x+

2 3

3

x=

1

2

（

3

+1），
故答案为：

1

2

（

3

+1）．

点评：本题考查了勾股定理、含30°的直角三角形的性质等相关知识，解题的关键是设出未知数，利用这些知识列出方程并正确的求解．