题目内容

如图，已知抛物线y=（3-m）x²+2（m-3）x+4m-m²的顶点A在双曲线y= $数学公式$ 上，直线y=mx+b经过点A，与y轴交于点B，与x轴交于点C．
（1）确定直线AB的解析式；
（2）将直线AB绕点O顺时针旋转90°，与x轴交于点D，与y轴交于点E，求sin∠BDE的值；
（3）过点B作x轴的平行线与双曲线交于点G，点M在直线BG上，且到抛物线的对称轴的距离为6．设点N在直线BG上，请直接写出使得∠AMB+∠ANB=45°的点N的坐标．

解：（1）∵抛物线对称轴x=- $\text{[math]}$ =1，
∴抛物线顶点坐标为（1，-m²+5m-3），
代入双曲线y= $\text{[math]}$ 中，得，-m²+5m-3=3，
解得m=2或3，
∵二次项系数3-m≠0，
∴m=2，
∴A（1，3），把A点代入直线y=2x+b中，得b=1，
∴直线AB的解析式为y=2x+1；

（2）由直线AB解析式可知OB=1，OC= $\text{[math]}$ ，
由旋转的性质可知，OD=OB=1，OE=OC= $\text{[math]}$ ，
作EH⊥BD，垂足为H，∵∠OBD=45°，
∴△BEH为等腰直角三角形，
又∵BE=OB-OE= $\text{[math]}$ ，
∴EH= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
在Rt△ODE中，DE= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴sin∠BDE= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；

（3）N点坐标为（5，1）或（-3，1）．
分析：（1）由抛物线解析式得顶点坐标为（1，-m²+5m-3），代入双曲线y= $\text{[math]}$ 中，可求m的值，再把A点坐标代入直线y=mx+b中，确定直线AB的解析式；
（2）由旋转的性质可知，OD=OB，OE=OC，根据B、D、E三点坐标，作EH⊥BD，垂足为H，可知△BEH为等腰直角三角形，分别求EH，DE，再求sin∠BDE的值；
（3）即△AMN的顶点A的外角为45°，过M点作直线AN的垂线，得到等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求N点坐标．
点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据条件确定抛物线和直线AB的解析式，根据旋转的性质，三角形外角的性质解题．

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如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点

C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线BC的函数解析式；
（3）在抛物线上，是否存在一点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
（4）点Q是直线BC上的一个动点，若△QOB为等腰三角形，请写出此时点Q的坐标．（可直接写出结果）

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0）

、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）在抛物线的对称轴x=1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求出此时点M的坐标．

（2013•衡阳）如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=-1．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；
②△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，且抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）点P是抛物线对称轴上一点，若△PAB∽△OBC，求点P的坐标．

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点是（-1，-4），且与x轴交于A、B（1，0）两点，交y轴于点C；
（1）求此抛物线的解析式；
（2）①当x的取值范围满足条件

时，y＜-3；
②若D（m，y₁），E（2，y₂）是抛物线上两点，且y₁＞y₂，求实数m的取值范围；
（3）直线x=t平行于y轴，分别交线段AC于点M、交抛物线于点N，求线段MN的长度的最大值；
（4）若以抛物线上的点P为圆心作圆与x轴相切时，正好也与y轴相切，求点P的坐标．