Question

如图，已知二次函数的图像过点A(－4，3)，B(4，4)．

(1)求二次函数的解析式：

(2)求证：△ACB是直角三角形；

(3)若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存在以P、H、D、为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

分析：①求二次函数的解析式，也就是要求中a、b的值，只要把A(－4，3)，B(4，4)代人即可． 　　②求证△ACB是直角三角形，只要求出AC，BC，AB的长度，然后用 　　勾股定理及其逆定理去考察． 　　③是否存在以P、H、D、为顶点的三角形与△ABC相似？先要选择一点P 　　然后自P点作垂线构成Rt△PHD，把两个三角形相似作条件，运用三角形 　　相似的性质去构建关于P点横坐标的方程． 　　解：(1)将A(－4，3)，B(4，4)代人中，整理得： 　　 　　解得 　　∴二次函数的解析式为：， 　　整理得： 　　(2)由 　　整理 　　∴X1＝－2，X2＝ 　　∴C(－2，0)，D 　　从而有：AC2＝4＋9 　　BC2＝36＋16 　　AC2＋BC2＝13＋52＝65 　　AB2＝64＋1＝65 　　∴AC2＋BC2＝AB2 　　故△ACB是直角三角形 　　(3)设(X＜0) 　　PH＝ 　　HD＝ 　　AC＝ 　　BC＝ 　　①当△PHD∽△ACB时有： 　　即： 　　整理 　　∴ 　　(舍去)此时， 　　∴ 　　②当△DHP∽△ACB时有： 　　即： 　　整理 　　∴ 　　(舍去)此时， 　　∴ 　　综上所述，满足条件的点有两个即　 　　点评：这是一个二次函数开放性的综合题，解决问题的思路容易建立，切入点也好找，但运算难度较大．出题的老师看准了我们的学生在学习中存在的问题，那就是每一个学生在计算时无论简单与复杂总是离不开计算器，所以遇到分数运算时没有信心进行运算，最后还是放弃了．因此在这里要提醒每一位学生在平时计算的练习中多用心算和笔算，才能提高自己的运算能力．

提示：

知识点考察：①二次函数解析式的确定， 　　②勾股定理及其逆定理的应用， 　　③相似三角形的性质， 　　④坐标系中点的坐标的特征， 　　⑤抛物线与X轴的交点，⑥一元二次方程的解法， 　　⑦垂直的定义． 　　⑧二元一次方程组的解法． 　　能力考察：①观察能力，②逻辑思维与推理能力，③书写表达能力， 　　④综合运用知识的能力，⑤分类讨论的能力．⑥动点的探求能力 　　⑦准确的计算能力．