题目内容
如图，△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，PQ∥AB，点P在AC上（与点A、C不重合），点Q在BC上．试问：在AB上是否存在点M，使△PQM为等腰直角三角形？若存在，求PQ的长；若不存在，请说明理由．
分析：由于PQ的位置是变化的，故可以使△PQM为等腰直角三角形，设PC=x，当△PQM为等腰直角三角形时，有三种情况：
1、当∠MPQ为直角时，可得到PM=PQ=
x，而在△ABC中sinA=
=
，而在△PMA中sinA=
=
，建立方程可求得x的值，从而求得PQ的值．
2、若∠MQP为直角，与1类似；
3、当∠PMQ为直角时，则可得PQ=MQ=
，过P作PN⊥AB于N，易得PN=
PQ=
，即可求得PQ的值．
1、当∠MPQ为直角时，可得到PM=PQ=
| 5 |
| 4 |
| BC |
| AB |
| 3 |
| 5 |
| PM |
| PA |
| ||
| 8-x |
2、若∠MQP为直角，与1类似；
3、当∠PMQ为直角时，则可得PQ=MQ=
5
| ||
| 8 |
| 1 |
| 2 |
| 5x |
| 8 |
解答：解：AC=8，BC=6，由勾股定理得：AB=10，
设PC=x，
∵PQ∥AB，
∴
=
，
∵PC=x，BC=10，AC=8，代入可求出PQ=
，
∵△PQM为等腰直角三角形，
∴讨论哪个角为直角如下：
（1）当∠MPQ（2分）为直角时，则可得PQ=
（3分），
∴PM=
，（4分）
在△ABC中sinA=
=
，而在△PMA中sinA=
=
，
∴得x=
，从而PQ=
=
．（若∠MQP为直角类似）（5分）
（2）当∠PMQ为直角时，则可得PM=MQ=
，
过P作PN⊥AB于N，
易得PN=
PQ=
，
同（1）得x=
∴PQ=
=
．（10分）
设PC=x，
∵PQ∥AB，
∴
| PQ |
| AB |
| CP |
| AC |
∵PC=x，BC=10，AC=8，代入可求出PQ=
| 5x |
| 4 |
∵△PQM为等腰直角三角形，
∴讨论哪个角为直角如下：
（1）当∠MPQ（2分）为直角时，则可得PQ=
| 5x |
| 4 |
∴PM=
| 5x |
| 4 |
在△ABC中sinA=
| BC |
| AB |
| 3 |
| 5 |
| PM |
| PA |
| ||
| 8-x |
∴得x=
| 96 |
| 37 |
| 5x |
| 4 |
| 120 |
| 37 |
（2）当∠PMQ为直角时，则可得PM=MQ=
5
| ||
| 8 |
过P作PN⊥AB于N，
易得PN=
| 1 |
| 2 |
| 5x |
| 8 |
同（1）得x=
| 192 |
| 49 |
∴PQ=
| 5x |
| 4 |
| 240 |
| 49 |
点评：本题利用了等腰直角三角形的性质，正弦的概念求解．
练习册系列答案
相关题目
26、已知：如图，△ABC中，点D在AC的延长线上，CE是∠DCB的角平分线，且CE∥AB．
27、已知：如图，△ABC中，∠BAC=60°，D、E两点在直线BC上，连接AD、AE．
27、如图，△ABC中，AD⊥BC于D，DN⊥AC于N，DM⊥AB于M
14、如图，△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，且AB+BD=DC，则∠C的大小是（ ）
已知，如图，△ABC中，点D在BC上，且∠1=∠C，∠2=2∠3，∠BAC=70°．