Question

（1）已知一个三角形的周长为P，问这个三角形的最大边长度在哪个范围内变化？
（2）从1、2、3、4…、2013中任选k个数，使所选的个数中一定可以找到构成三角形边长的三个数（这里要求三角形三边长互不相等），试问满足条件的k的最小值是多少？

Answer 1

分析：（1）根据题意在△ABC中，不妨设a≤b≤c（最大边长度为c），根据三角形的周长计算，三角形三边关系和不等式的性质可得c＜

P

2

，c≥

P

3

，从而得出三角形的最大边长度的范围．
（2）这一问题等价于在1，2，3，2004中选k-1个数，使其中任意三个数都不能成为三边互不相等的一个三角形三边的长，试问满足这一条件的k的最大值是多少？符合上述条件的数组，当k=4时，最小的三个数就是1，2，3，由此可不断扩大该数组，只要加入的数大于或等于已得数组中最大的两个数之和．

解答：解：（1）在△ABC中，不妨设a≤b≤c，
∵a+b＞c，
∴a+b+c＞2c，即p＞2c，c＜

P

2

，另一方面c≥a且c≥b，
2c≥a+b，
∴3c≥a+b+c=p，c≥

P

3

，
因此这个三角形的最大边长度的范围为：

P

3

≤c＜

p

2

．

（2）为使k达到最大，可选加入之数等于已得数组中最大的两数之和，这样得：
1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597 ①
共16个数，对符合上述条件的任数组，a₁，a₂…a_n显然总有a_i大于等于①中的第i个数，
所以n≤16≤k-1，从而知k的最小值为17．

点评：（1）主要考查了三角形三边关系和三角形的周长计算，解题关键是根据三角形三边关系和周长计算列出关于三角形的最大边和三角形的周长之间的不等式（组）．
（2）本题考查了三角形三边关系．解题关键是得到加入之数等于已得数组中最大的两数之和的16个数，从而列不等式求出k的最小值．