Question

如图，二次函数y=ax²+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．该抛物线的顶点为M．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）判断△BCM的形状，并说明理由；

（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P、A、C为顶点的三角形与△BCM相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

       解：（1）∵二次函数y=ax²+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，

∴，

解得：，

则抛物线解析式为y=x²﹣2x﹣3；

（2）△BCM为直角三角形，理由为：

对于抛物线解析式y=x²﹣2x﹣3=（x﹣1）²﹣4，即顶点M坐标为（1，﹣4），

令x=0，得到y=﹣3，即C（0，﹣3），

根据勾股定理得：BC=3，BM=2，CM=，

∵BM²=BC²+CM²，

∴△BCM为直角三角形；

（3）如图1，

连接AC，

∵△COA∽△CAP，△PCA∽△BCD，

∴Rt△COA∽Rt△BCD，P点与O点重合，

∴点P（0，0）．

如图2，过A作AP₁⊥AC交y轴正半轴于P₁，

∵Rt△CAP₁∽Rt△COA∽Rt△BCD，

∴=，

即=，

∴点P₁（0，）．

如图3，过C作CP₂⊥AC交x轴正半轴于P₂，

∵Rt△P₂CA∽Rt△COA∽Rt△BCD，

∴=，

即=，AP₂=10，

∴点P₂（9，0）．

∴符合条件的点有三个：O（0，0），P₁（0，），P₂（9，0）．

点评：    此题是二次函数的综合题，涉及到二次函数解析式的确定、勾股定理、直角三角形的判定、相似三角形的判定和性质等知识，（3）题中能够发现点O是符合要求的P点，是解决此题的突破口．