Question

如图①，直线AB与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．OA、OB的长度分别为a和b，且满足a²-2ab+b²=0．
（1）判断△AOB的形状．
（2）如图②，正比例函数y=kx（k＜0）的图象与直线AB交于点Q，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=9，BN=4，求MN的长．

Answer 1

分析：（1）根据a²-2ab+b²=0，可得a=b，又有∠AOB=90°，所以可得出△AOB的形状；
（2）根据已知条件先证明△AOM≌△OBN，可得ON与OM的长，由MN=ON-OM即可得出答案．

解答：解：（1）∵OA、OB的长度分别为a和b，且满足a²-2ab+b²=0，∴a=b，
又∵∠AOB=90°，
∴△AOB为等腰直角三角形；

（2）∵AM⊥OQ，BN⊥OQ
∴∠AOM=∠OBN=90°-∠NOB
∴在△AOM和△OBN中

AO=OB ∠AOM=∠OBN ∠OMA=∠BNO

∴△AOM≌△OBN
∴ON=AM=9OM=BN=4（全等三角形对应边相等）
∴MN=ON-OM=9-4=5．

点评：本题考查了一次函数的综合知识及全等三角形的判定，难度适中，关键是掌握三角形全等的判定方法．