题目内容
如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，且AD=DC=4，BC=6，点M从A开始，以每秒1个单位的速度向D运动，点N从C开始，以每秒1个单位的速度向B运动，若M、N同时开始运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（0＜t≤4），过M作MQ⊥BC于Q，交AC于P．（1）若△PCN的面积为S，求S与t的函数关系式．
（2）点M在运动过程中，是否存在点M使PN∥DC？若存在，求出t的值，若不存在，说明理由．
分析：（1）如图1，作DE⊥BC于E，由条件就可以得出四边形ABED是矩形，就可以得出AB=ED，AD=BE=4就可以得出CE=2，由勾股定理就可以得出DE，就可以求出tan∠ACB=
，如图2，就可以表示出PQ，再由三角形的面积公式就可以求出结论；
（2）如图3，当PN∥DC就可以得出∠NPC=∠DCA，由AD∥BC可以得出∠DAC=∠ACN，AD=DC就可以得出∠∠DCA=∠DAC．进而得出∠NPC=∠NCP，就有PN=NC，在Rt△PQN中，由勾股定理就可以求出结论．
| ||
| 3 |
（2）如图3，当PN∥DC就可以得出∠NPC=∠DCA，由AD∥BC可以得出∠DAC=∠ACN，AD=DC就可以得出∠∠DCA=∠DAC．进而得出∠NPC=∠NCP，就有PN=NC，在Rt△PQN中，由勾股定理就可以求出结论．
解答：解：（1）如图1，作DE⊥BC于E，
∴∠DEB=∠DEC=90°．
∵AB⊥BC，
∴∠B=90°．
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∴∠DAB=90°．
∴四边形ABED是矩形．
∴AD∥BE，AD=BE，AB=ED．
∵AD=4，
∴BE=4，
∴EC=2．
在Rt△DEC中，由勾股定理，得
DE=2
．
∴AB=2
，
∴tan∠ACB=
=
=
．
如图2，∵BQ=CN=t，
∴CQ=6-t，
∴
=
，
∴PQ=
．
∴S=
=
t-
；
（2）∵PN∥DC，
∴∠NPC=∠DCA．
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACN．
∵AD=DC，
∴∠∠DCA=∠DAC．
∴∠NPC=∠NCP，
∴PN=NC=t．
∵BQ=t，
∴QN=6-2t．
在Rt△PQN中，由勾股定理，得
（6-2t）2+（
）2=t2，
解得：t1=6，t2=
．
∵0＜t≤4，
∴t=
．
答：t=
时，PN∥DC．
∴∠DEB=∠DEC=90°．
∵AB⊥BC，
∴∠B=90°．
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∴∠DAB=90°．
∴四边形ABED是矩形．
∴AD∥BE，AD=BE，AB=ED．
∵AD=4，
∴BE=4，
∴EC=2．
在Rt△DEC中，由勾股定理，得
DE=2
| 3 |
∴AB=2
| 3 |
∴tan∠ACB=
| AB |
| BC |
2
| ||
| 6 |
| ||
| 3 |
如图2，∵BQ=CN=t，
∴CQ=6-t，
∴
| PQ |
| 6-t |
| ||
| 3 |
∴PQ=
| ||
| 3 |
∴S=
| ||||
| 2 |
| 3 |
| ||
| 6 |
（2）∵PN∥DC，
∴∠NPC=∠DCA．
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACN．
∵AD=DC，
∴∠∠DCA=∠DAC．
∴∠NPC=∠NCP，
∴PN=NC=t．
∵BQ=t，
∴QN=6-2t．
在Rt△PQN中，由勾股定理，得
（6-2t）2+（
| ||
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解得：t1=6，t2=
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| 5 |
∵0＜t≤4，
∴t=
| 12 |
| 5 |
答：t=
| 12 |
| 5 |
点评：本题考查了矩形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，三角函数值的运用，平行线的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时运用三角函数值求解是关键．
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