Question

【题目】如图，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF．

（1）求证：△DAE≌△DCF；

（2）求证：△ABG∽△CFG；

（3）若正方形ABCD的的边长为2，G为BC的中点，求EF的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） EF＝．

【解析】

（1）根据正方形的性质有AD=CD，根据等腰直角三角形的性质有DE=DF，已知两边尝试找其夹角对应相等，根据等角的余角相等可得，∠ADE=∠CDF，据此可证;

（2）此题有多种方法可解，可以延长BA交DE与M，结合第（1）问全等三角形的结论用等角做差求得∠BAG=∠FCG，再加上一对对顶角相等即可证明;

（3）根据第（2）问相似三角形的结论，易得，在Rt△CFG中得到了两直角边CF与FG的倍数关系，再运用勾股定理即可解出CF与FG的长度，又AE=CF，即可解答.

证明：（1）∵正方形ABCD，等腰直角三角形EDF，

∴∠ADC＝∠EDF＝90°，AD＝CD，DE＝DF，

∴∠ADE+∠ADF＝∠ADF+∠CDF，

∴∠ADE＝∠CDF，

在△ADE和△CDF中，

,∠=∠,;

∴△ADE≌△CDF（SAS）；

（2）延长BA到M，交ED于点M，

∵△ADE≌△CDF，

∴∠EAD＝∠FCD，即∠EAM+∠MAD＝∠BCD+∠BCF，

∵∠MAD＝∠BCD＝90°，

∴∠EAM＝∠BCF，

∵∠EAM＝∠BAG，

∴∠BAG＝∠BCF，

∵∠AGB＝∠CGF，

∴△ABG∽△CFG．

（3）∵正方形ABCD的的边长为2，G为BC的中点，

∴BG＝CG＝1，

AG＝，

∵△ABG∽△CFG，

∴，

CF＝2FG，

∵CF2+FG2＝CG2，

（2FG）2+FG2＝12，

∴GF＝，CF＝，

∵△DAE≌△DCF，

∴AE＝CF，

∴EF＝EA+AG+GF＝CF+AG+GF＝++＝．