Question

如图所示，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O．
（1）若∠BOC=140°，求∠A的度数．
（2）求证：∠BOC=90°+

1

2

∠A．

Answer 1

分析：（1）首先根据BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，可得∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，再根据三角形内角和定理计算出∠1+∠2的度数，进而得到∠ABC+∠ACB，即可算出∠A的度数；
（2）根据三角形的内角和定理用∠A表示出∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义表示出∠1+∠2，然后在△BCO中利用三角形的内角和定理列式整理即可得证．

解答：解：（1）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，
∵∠BOC=140°，
∴∠1+∠2=180°-140°=40°，
∴∠ABC+∠ACB=2×40°=80°，
∴∠A=180°-80°=100°；

（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∵BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠1=

1

2

∠ABC，∠2=

1

2

∠ACB，
∴∠1+∠2=

1

2

（∠1+∠2）=

1

2

（180°-∠A）=90°-

1

2

∠A，
在△BCO中，∠O=180°-（∠1+∠2）=180°-（90°-

1

2

∠A）=90°+

1

2

∠A，
即：∠O=90°+

1

2

∠A．

点评：此题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．