Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O、D分别为AB、BC的中点，做⊙O与AC相切于点E，在AC边上取一点F，使DF＝DO.

⑴求证：DF是⊙O切线；⑵若sinB＝，CF＝2，求⊙O的半径.

Answer 1

【答案】（1）证明略；（2）⊙O的半径 .

【解析】

（1）作OG⊥DF于G．连接OE．先证明△OGD≌△DCF得出OG=CD，再证明四边形CDOE是平行四边形，得出OG=OE即可解决问题；

（2）由FA，FD是⊙O的切线，推出FG=FE，设FG=FE=x，由△OGD≌△DCF（AAS），推出DG=CF=2，推出OD=DF=2+x，由AC=2OD，CE=OD，推出AE=EC=OD=2+x，由sinB＝推出∠A=30°，推出，在Rt△DCF中，根据DF2=CD2+CF2，构建方程即可解决问题.

（1）证明：作OG⊥DF于G．连接OE．

∵BD=DC，BO=OA，
∴OD∥AC，
∴∠ODG=∠DFC，
∵∠OGD=∠DCF=90°，OD=DF，
∴△OGD≌△DCF（AAS），
∴OG=CD，
∵AC是⊙O的切线，
∴OE⊥AC，
∴∠AEO=∠C=90°，
∴OE∥BC，
∵OD∥CE，
∴四边形CDOE是平行四边形，
∴CD=OE，
∴OG=OE，
∴DF是⊙O的切线．

（2）解：∵FA，FD是⊙O的切线，
∴FG=FE，设FG=FE=x，
∵△OGD≌△DCF（AAS），
∴DG=CF=2

∴OD=DF=2+x

∵AC=2OD，CE=OD，
∴AE=EC=OD=2+x

∵sinB＝.

∴∠B=60°，

∴∠A=30°，

在Rt△DCF中，∵DF2=CD2+CF2，

解得或

即⊙O的半径是.