题目内容
【题目】在数轴上,把表示数1的点称为基准点,记作点
．对于两个不同的点M和N,若点M、点N到点的距离相等,则称点M与点N互为基准变换点．例如：图1中,点M表示数-1,点N表示数3,它们与基准点的距离都是2个单位长度，点M与点N互为基准变换点．
（1）已知点A表示数a，点B表示数b，点A与点B互为基准变换点．
①若a=0，则b=_________；若a=4，则b=_________；
②用含a的式子表示b，则b=____________；
（2）对点A进行如下操作：先把点A表示的数乘以2.5，再把所得数表示的点沿着数轴向左移动3个单位长度得到点B． 若点A与点B互为基准变换点，则点A表示的数是___________；
（3）点P在点Q的左边,点P与点Q之间的距离为8个单位长度．对P、Q两点做如下操作：点P沿数轴向右移动k(k>0)个单位长度得到
，
为的基准变换点,点沿数轴向右移动k个单位长度得到
,
为的基准变换点,…,依此顺序不断地重复,得到
,
,…,
．
为Q的基准变换点,将数轴沿原点对折后的落点为
,
为的基准变换点,将数轴沿原点对折后的落点为
,…,依此顺序不断地重复,得到
,
,…,
．若无论k为何值,与两点间的距离都是4，则n=__________
【答案】2 
4或12
【解析】
（1）①根据互为基准变换点的定义可得出a+b=2，代入数据即可得出结论；
②根据a+b=2，变换后即可得出结论；
（2）设点A表示的数为x，根据点A的运动找出点B，结合互为基准变换点的定义即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）根据点Pn与点Qn的变化找出变化规律“P4n-1=2-m，Q4n-1=-m+4n-8；P4n=m、Q4n=m+8-4n”，再根据两点间的距离公式即可得出关于n的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．
解：（1）①∵点A表示数a，点B表示数b，点A与点B互为基准变换点，
∵a+b=2．
当a=0时，b=2；
当a=4时，b=-2．
故答案为：2；-2．
②∵a+b=2，
∴b=2-a．
故答案为：2-a．
（2）设点A表示的数为x，
根据题意得：
，
解得：
．
故答案为：．
（3）设点P表示的数为m，则点Q表示的数为m+8，
由题意可知：P1表示的数为m+k，P2表示的数为2-（m+k），P3表示的数为2-m，P4表示的数为m，P5表示的数为m+k，…，
Q1表示的数为：-m-6，Q2表示的数为：m+6，Q3表示的数为：-m-4，Q4表示的数为：m+4，Q5表示的数为：-m-2，Q6表示的数为：m+2，…，
∴P4n-1=2-m，Q4n-1=-m+4n-8；P4n=m，Q4n=m+8-4n．
①|2-m-（-m+4n-8）|=4，即|-4n+10|=4，
解得：4n=6或4n=14，
又∵n为正整数，
∴4n为4的倍数，
∴6和14不符合题意，舍去；
②令|m-（m+8-4n）|=4，即|8-4n|=4，
解得：4n=4或4n=12．
故答案为：4或12．
