Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，-1），抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）．

（1）求n的值和抛物线的解析式；

（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0<t<4），DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；

（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A'O'B'，点A、O、B的对应点分别是点A'、O'、B'． 若△A'O'B'的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A’的横坐标．

Answer 1

【答案】（1）n=2，；（2）p=，p有最大值；（3）点A'的横坐标为：或.

【解析】

（1）把点B的坐标代入直线解析式可得m的值，再把点C的坐标代入直线解析式可得n的值，然后利用待定系数法求二次函数解析式即可；

（2）令y=0求出点A的坐标，从而得到OA、OB的长度，利用勾股定理列式求出AB的长，然后根据两直线平行，内错角相等可得，再解直角三角形用DE表示出EF、DF，根据矩形的周长公式表示出p，利用直线和抛物线的解析式表示DE的长，整理即可得到P与t的关系式，再利用二次函数的最值问题解答；

（3）分两种情况进行讨论：①当点O’、B’在抛物线上时，由O’B’=OB=1；②当点A’、B’在抛物线上时，由A’B’=AB=，分别求出点A’的横坐标即可．

（1）将B（0，-1）代入得：m=－1，

在中，当y=0时，x=，即A(，0)，

∵过点C（4，n），得：n=2，即C(4，2)，

将B（0，-1）、C（4，n），代入得：

，解得：，

即抛物线的解析式为：.

（2）由（1）知，OA=，OB=1，在Rt△OAB中，由勾股定理得：AB=，

∵DE∥y轴，

∴∠ABO=∠DEF，

∴sin∠DEF= sin∠ABO=，cos∠DEF=cos∠ABO=，

∴EF=DE·cos∠DEF=DE，DF=DE·cos∠DEF=DE，

∴p=2（DE+DF）=DE，

∵点D的横坐标为t，

∴D(t，)，E(t，)，

∴DE=－（）=，

p=（）

=，

∴当t=2时，p有最大值.

（3）由题意知，A’、O’横坐标相等，此二点不会同时在抛物线上，

①当点O’、B’在抛物线上时，由O’B’=OB=1，

抛物线的对称轴：x=得，O’横坐标为－=，

即A’横坐标为：；

②当点A’、B’在抛物线上时，由A’B’=AB=，

设点A’(n，y)，则B’(n+1，y－)，

∴，解得：n=

即A’横坐标为：；

综上所述，点A’的横坐标为：或.