Question

如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O 相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E。

（1）求证：∠EPD=∠EDO
（2）若PC=6，tan∠PDA=，求OE的长。

Answer 1

（1）见解析（2）

解：（1）证明：∵PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，
∴∠APO=∠EPD且PA⊥AO。∴∠PAO=90°。
∵∠AOP=∠EOD，∠PAO=∠E=90°，∴∠APO=∠EDO。
∴∠EPD=∠EDO。
（2）连接OC，

∵PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，PC=6，∴PA=PC=6。
∵tan∠PDA=，∴在Rt△PAD中，AD=8，PD=10。
∴CD=4。
∵tan∠PDA=，∴在Rt△OCD中，OC=OA=3，OD=5。
∵∠EPD=∠DEP，∴△OED∽△DEP。
∴，即DE=2OE。
在Rt△OED中，，即，
∴OE=。
（1）根据切线长定理和切线的性质即可证明：∠EPD=∠EDO；。
（2）连接OC，利用tan∠PDA=，可求出CD=4，再证明△OED∽△DEP，根据相似三角形的性质和勾股定理即可求出OE的长。