Question

【题目】如图1，在矩形中，，分别以所在的直线为轴、轴，建立如图所示的平面直角坐标系，连接,反比例函数的图象经过线段的中点，并与矩形的两边交于点和点，直线经过点和点.

（1）连接、，求的面积；

（2）如图2，将线段绕点顺时针旋转—定角度，使得点的对应点好落在轴的正半轴上，连接，作，点为线段上的一个动点，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）4.

【解析】

(1)连接、，过点D作DP⊥OC，易得：B(3，4)，从而得D(1.5，2)，进而得，即：，E(，4)，F(3，1)，根据割补法，即可求出答案；

(2)过点N作NQ⊥OB于点Q，HG⊥OB于点G，易得OH=OB=5，BH=，HG=BC=4，易证OQN~OMB，得NQ=，得到，进而得到答案.

（1）连接、，过点D作DP⊥OC，如图1，

∵在矩形中，，

∴B(3，4)，

∵点D是OB的中点，

∴DP=BC=OA=2，OP=OC=1.5，即：D(1.5，2)，

∵反比例函数的图象经过线段的中点，

∴k=xy=1.5×2=3，即：，

∴，E(，4)，F(3，1)，

∴BE=3-=，BF=4-1=3，

∴，

∴=；

（2）过点N作NQ⊥OB于点Q，HG⊥OB于点G，如图2，

∵线段绕点顺时针旋转—定角度，点的对应点好落在轴的正半轴上，

∴OH=OB=，

∴CH= OH-OC=5-3=2，

∴BH=，

∵，

∴HG=BC=4，

∵，

∴BM=BH=，

∵∠NOQ=∠BOM，∠OQN=∠OMB=90°，

∴OQN~OMB，

∴，即：，

∴NQ=，

∴，

∵，

∴，

∴的最小值是：4.