Question

（2013•椒江区一模）请仔细阅读下面两则材料，然后解决问题：
材料1：小学时我们学过，任何一个假分数都可以化为一个整数与一个真分数的和的形式，同样道理，任何一个分子次数不低于分母次数的分式都可以化为一个整式与另一个分式的和（或差）的形式，其中另一个分式的分子次数低于分母次数．

x2-2x-4

x-1

=

(x2-x)+(-x+1)+(-5)

x-1

=(x-1)-

5

x-1

如：对于式子2+

3

1+x2

，因为x²≥0，所以1+x²的最小值为1，所以

3

1+x2

的最大值为3，所以2+

3

1+x2

的最大值为5．根据上述材料，解决下列问题：问题1：把分式

4x2+8x+7

1 2 x2+x+1

 化为一个整式与另一个分式的和（或差）的形式，其中另一

4x2+8x+7

1 2 x2+x+1

个分式的分子次数低于分母次数．
问题2：当x的值变化时，求分式8-

2

(x+1)2+1

的最小值．

Answer 1

分析：问题1：根据分式的性质，将分子分母分别乘以4，再将分子转化为x²+2x+2的倍数，然后约分计算；
问题2：根据问题1的结果，通过分母分析分式的最小值．

解答：问题1：解：原式=

8x2+16x+16-2

x2+2x+2

=8-

2

x2+2x+2

=8-

2

(x+1)2+1

；
问题2：解：∵（x+1）²≥0，
∴（x+1）²+1的最小值为1，
∴

2

(x+1)2+1

的最大值为2，
∴8-

2

(x+1)2+1

的最小值为6，
即

4x2+8x+7

1 2 x2+x+1

的最小值为6．

点评：本题主要考查了分式的混合运算，适当转化分子、分母是解题的关键．