Question

17．如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A（-2，0），B（1，0），顶点为C，对称轴于x轴交于点M，连接AC，BC，作AD∥BC交对称轴于点D，连接BD，有下列5个结论：①a-b=0；②当-2＜x＜1时，y＞0；③四边形ADBC是菱形；④9a-3b+c＞0；⑤c=2a，其中正确的个数是（　　）

• A． 2个
• B． 3个
• C． 4个
• D． 5个

Answer 1

分析 ①求出抛物线的对称轴是直线x=$\frac{-b}{2a}$=$\frac{-2+1}{2}$=-$\frac{1}{2}$，得出a=b，即可判断①正确；
②由图象可知，当-2＜x＜1时，抛物线在x轴上方，即可判断②正确；
③先利用AAS证明△ADM≌△BCM，得出AD=BC，而AD∥BC，那么四边形ADBC是平行四边形，由抛物线的对称性得出CA=CB，从而得出平行四边形ADBC是菱形，由此判断③正确；
④由图可知，x=-3时，y＜0，即可判断④错误；
⑤把B（1，0）代入y=ax²+bx+c（a≠0），得出a+b+c=0，再将a=b代入，即可判断⑤错误．

解答 解：①∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A（-2，0），B（1，0），
∴对称轴是直线x=$\frac{-b}{2a}$=$\frac{-2+1}{2}$=-$\frac{1}{2}$，
∴a=b，即a-b=0．故①正确；
②由图象可知，当-2＜x＜1时，抛物线在x轴上方，即y＞0．故②正确；
③∵AD∥BC，
∴∠DAM=∠CBM，∠ADM=∠BCM．
在△ADM与△BCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAM=∠CBM}\\{∠ADM=∠BCM}\\{AM=BM}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△BCM，
∴AD=BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ADBC是平行四边形，
∵CA=CB，
∴平行四边形ADBC是菱形，故③正确；
④由图可知，x=-3时，y＜0，即9a-3b+c＜0，故④错误；
⑤∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）过点B（1，0），
∴a+b+c=0，
∵a=b，
∴2a+c=0，
∴c=-2a，故⑤错误．
故选B．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定等知识，掌握抛物线的性质以及利用数形结合思想是解题的关键．