Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，⊙O与Rt△ABC的三边AB、BC、AC分相切于点D、E、F，若⊙O的半径r=2，则Rt△ABC的周长为________．

Answer 1

30
分析：设AD=x，由切线长定理得AF=x，根据题意可得四边形OECF为正方形，则CE=CF=2，BD=BE=3，在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出x，然后求其周长．
解答：连接OE、OF，
设AD=x，由切线长定理得AF=x，
∵⊙O与Rt△ABC的三边AB、BC、AC分相切于点D、E、F，
∴OE⊥BC，OF⊥AC，∴四边形OECF为正方形，
∵r=2，BC=5，∴CE=CF=2，BD=BE=3，
∴由勾股定理得，（x+2）²+5²=（x+3）²，
解得，x=10，
∴△ABC的周长为12+5+13=30，
故答案为30．
点评：本题考查了勾股定理和切线长定理，常把圆的问题转化成三角形的问题来解决．