Question

某街道两旁正在安装漂亮的路灯，经查看路灯图纸，小红发现该路灯的设计可以看作是“相切两圆”的一部分，部分数据如图所示：⊙O₁、⊙O₂相切于点C，CD切⊙O₁于点C，A、B为路灯灯泡．已知∠AO₁O₂=∠BO₂O₁=60°．A、B、C三点距地面MN的距离分别为cm，cm，cm，请根据以上图文信息，求：
（1）⊙O₁、⊙O₂的半径分别多少cm？
（2）把A、B两个灯泡看作两个点，求线段AB的长．

Answer 1

解：（1）过点A作AP⊥MN交O₁O₂于点P，
∵A、B、C三点距地面MN的距离分别为cm，cm，cm，
∴AP=150-100=50（cm），
∴在Rt△O₁AP中，O₁A===100（cm），
同理：O₁B==160（cm），
∴⊙O1、⊙O2的半径分别为100cm和160cm．

（2）如图，过点A作AP⊥MN交O₁O₂于点P，过点B作BQ⊥MN交O₁O₂于点Q，过点A作AH⊥BQ于点H，
则四边形APQH是矩形，
∵O₁P=O₁A，O₂Q=O₂B，
∴AH=PQ=（100+160）=130（cm），BH=180-150=30（cm），
∴AB===140（cm）．
即线段AB的长为140cm．
分析：（1）首先过点A作AP⊥MN交O₁O₂于点P，由A、B、C三点距地面MN的距离分别为cm，cm，cm，可求得AP的长，然后由三角函数的性质，求得O₁A的长，同理可求得⊙O₂的半径；
（2）首先过点A作AP⊥MN交O₁O₂于点P，过点B作BQ⊥MN交O₁O₂于点Q，过点A作AH⊥BQ于点H，可求得AH与BH的长，然后由勾股定理求得线段AB的长．
点评：此题考查了相切两圆的性质、勾股定理以及三角函数的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．