Question

已知矩形纸片ABCD中，AB=2，BC=3．
操作：将矩形纸片沿EF折叠，使点B落在边CD上．
探究：
（1）如图1，若点B与点D重合，你认为△EDA₁和△FDC全等吗？如果全等给出证明，如果不全等请说明理由；
（2）如图2，若点B与CD的中点重合，求△FCB₁和△B₁DG的周长之比．

Answer 1

解：（1）全等．理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，
由题意知：∠A=∠A₁，∠B=∠A₁DF=90°，AB=A₁D
∴∠A₁=∠C=90°，∠CDF+∠EDF=90°，
∴∠A₁DE=∠CDF，
∴△EDA₁≌△FDC（ASA）；

（2）∵∠DG B₁+∠D B₁G=90°，∠D B₁G+∠C B₁F=90°，
∴∠DG B₁=∠C B₁F，
∵∠D=∠C=90°，
∴△FC B₁∽△B₁DG．
设FC=x，则B₁F=BF=3-x，B₁C=DC=1，
∴x²+1²=（3-x）²，
∴，
∵△FCB₁∽△B₁DG，
∴．
分析：（1）根据ASA可以证明两个三角形全等；
（2）设CF=x，则BF=3-x，根据折叠的性质得B₁F=BF=3-x，再进一步根据勾股定理求得x的值；根据相似三角形的判定可以证明△FCB₁和△B₁DG相似，再根据相似三角形的周长的比等于相似比进行求解．
点评：此题综合运用了全等三角形的判定、相似三角形的判定及性质，综合性较强．