Question

3．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（4，5）、B（1，0）、C（4，0）．
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A₁B₁C₁，并写出A₁点的坐标；
（2）在y轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，并求出点P的坐标及△PAB的周长最小值．

Answer 1

分析 （1）作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接各点，写出A₁点的坐标即可；
（2）连接AB₁交y轴于点P，则P点即为所求，利用待定系数法求出直线AB₁的解析式，求出P点坐标，再利用两点间的距离公式求出线段AB₁+AB长即可．

解答 解：（1）如图所示，由图可知 A₁（-4，5）；

（2）如图所示，点P即为所求点．
设直线AB₁的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵A（4，5），B₁（-1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}4k+b=5\\-k+b=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=1\\ b=1\end{array}\right.$，
∴直线AB₁的解析式为y=x+1，
∴点P坐标（0，1），
∴△PAB的周长最小值=AB₁+AB=$\sqrt{（4+1）^{2}+{5}^{2}}$+$\sqrt{（4-1）^{2}+{5}^{2}}$=5$\sqrt{2}$+$\sqrt{34}$．

点评 本题考查的是作图-轴对称变换，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．