题目内容
2．如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，点D为AB边上的一点，过点D作DE⊥BC于E，连接CD，过点A作AF∥DE交CD于点F，交BC于点G，连接EF．（1）求证：△BED∽△BAC；
（2）写出所有与△BED相似的三角形（△BAC除外）；
（3）如图2，若四边形ADEF是菱形，连接对角线AE与DF相交于点O．
①求证：OA2=OC•OF；
②当AE=12，CF=5时，求OF的长，并直接写出△BED与△BAC的相似比$\frac{DE}{AC}$的值．
分析 （1）根据两角对应相等两三角形相似即可判定．
（2）根据相似三角形的判定方法即可判断．
（3）①只要证明△OAF∽△OCA，可得$\frac{OA}{OC}$=$\frac{OF}{OA}$，由此即可证明．
②利用勾股定理求出DE、AC即可解决问题．
解答 证明：（1）如图1中，
∵DE⊥BC，∠BAC=90°
∴∠BED=∠BAC=90°，
∵∠B=∠B．
∴△BED∽△BAC
（2）结论：△BED∽△BGA，△BED∽△AGC．
理由：∵∠B=∠B，∠DEB=∠AGB=90°，
∴△BED∽△BGA．
∵∠CAG+∠ACB=90°，∠B+∠ACB=90°，
∴∠B=∠CAG，
∵∠DEB=∠AGC=90°，
∴，△BED∽△AGC．
（3）①如图2中，
∵四边形ADEF是菱形，
∴AD=AF，AE⊥DF
∴∠1=∠2，∠AOF=90°
∴∠2+∠3=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠1+∠4=90°．
∴∠3=∠4．
∵∠AOC=∠AOC．
∴△OAF∽△OCA．
∴$\frac{OA}{OC}$=$\frac{OF}{OA}$，
∴OA2=OC•OF．
②设OF=x，则OC=x+5．
∵四边形ADEF是菱形，AE=12，
∴AE⊥CD，OA=$\frac{1}{2}$AE=6，
由①可知OA2=OC•OF，列方程得：36=x（x+5），
解得：x1=4，x2=-9（不合题意，舍去）
∴OF的长为4．DE=$\sqrt{{4}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，AC=$\sqrt{{6}^{2}+{9}^{2}}$=3$\sqrt{13}$，
△BED与△BAC的相似比$\frac{DE}{AC}$=$\frac{2}{3}$．
点评 本题考查相似三角形综合题、菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
| A． | 3.93×102 | B． | 4.25×104 | C． | 4.25×105 | D． | 42.5×103 |
如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连OD交BE于点M，若BE=8且MD=2，则直径AB长为10．