Question

如图①，将一边AB长为4cm的矩形框架ABCD与两直角边分别为4cm、3cm的直角三角形框架拼成直角梯形ABED．动点P，Q同时从点E出发，点P沿E→D→A方向以每秒3cm的速度运动，点Q沿E→B→A方向以每秒4cm的速度运动．而当点P到达点A时，点Q也正好到达点A．设P，Q同时从点E出发时，经过的时间为t秒．

（1）分别求出梯形中DE，AD的长度；
（2）当t=

7

4

时，求△EPQ的面积，并直接写出此时△EPQ的形状（如图②）；
（3）在点P，Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得四边形APEQ是梯形？若存在，请求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先在直角△DCE中利用勾股定理求出DE的长，设AD=x，再根据“动点P，Q同时从点E出发，点P沿E→D→A方向以每秒3cm的速度运动，点Q沿E→B→A方向以每秒4cm的速度运动．而当点P到达点A时，点Q也正好到达点A”列出关于x的方程，解方程即可；
（2）△EPQ的面积=S_梯形ABED-S_△APQ-S_△BQE-S_△DPE，根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似证明△APQ∽△BQE，由相似三角形对应角相等及直角三角形两锐角互余得出∠AQP+∠BQE=90°，进而得出△EPQ是直角三角形；
（3）根据点P和点Q的运动速度及运动路径，可分三种情况进行讨论：①0≤t≤1；②1＜t≤

5

3

；③

5

3

＜t≤2．

解答：解：（1）如图①．
在直角△DCE中，∵∠DCE=90°，DC=AB=4cm，CE=3cm，
∴DE=

DC2+CE2

=5cm；
设AD=xcm，则BC=xcm，
由题意，

4+x+3

4

=

x+5

3

，
解得x=1，
即AD=1cm；

（2）如图②．
当t=

7

4

时，BQ=4×

7

4

-1-3=3，PD=3×

7

4

-5=

1

4

，
∴AQ=1，AP=

3

4

，
∴△EPQ的面积=S_梯形ABED-S_△APQ-S_△BQE-S_△DPE
=

1

2

（1+4）×4-

1

2

×

3

4

×1-

1

2

×4×3-

1

2

×

1

4

×4
=10-

3

8

-6-

1

2

=

25

8

（cm²）；
∵AP：BQ=

3

4

：3=1：4，AQ：BE=1：4，
∴AP：BQ=AQ：BE．
∵在△APQ与△BQE中，

AP BQ = AQ BE ∠A=∠B=90°

，
∴△APQ∽△BQE，
∴∠AQP=∠BEQ，
∵∠BEQ+∠BQE=90°，
∴∠AQP+∠BQE=90°，
∴∠PQE=90°，
∴△EPQ是直角三角形；

（3）在点P，Q的运动过程中，存在时刻t，能够使得四边形APEQ是梯形．
分三种情况讨论：
①当0≤t≤1时，点Q在EB上，点P在ED上，如备用图①；
PE=3t，QE=4t，BQ=4-4t．
若四边形APEQ是梯形，则PE∥AQ，
又∵AD∥QE，
∴四边形ADEQ是平行四边形，
∴QE=AD，即4t=1，
解得t=

1

4

；
②当1＜t≤

5

3

时，点Q在AB上，点P在ED上，如备用图②；
若四边形APEQ是梯形，则AP∥QE．
过点P作PM⊥AD于M，则BQ=4t-4，BE=4，EP=3t，DP=5-3t．
∵△PDM∽△DEC，
∴（5-3t）：5=DM：3=PM：4，
∴DM=

3

5

（5-3t），PM=

4

5

（5-3t），
∵△AMP∽△EBQ，
∴AM：EB=PM：QB，即[1+

3

5

（5-3t）]：4=

4

5

（5-3t）：（4t-4），
化简整理得，9t²-41t+40=0，
解得t=

41± 241

18

．
∵

41+ 241

18

＞

5

3

，舍去，
∴t=

41- 241

18

；
③当

5

3

＜t≤2时，点Q在AB上，点P在AD上，如备用图③，
显然四边形APEQ的两组对边都不平行，此时四边形APEQ不可能为梯形．
综上可知，在点P，Q的运动过程中，存在时刻t=

1

4

或t=

41- 241

18

，使得四边形APEQ是梯形．

点评：本题是相似形综合题，其中涉及到矩形的性质，勾股定理，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，梯形的判定与性质，（3）中进行分类讨论是解题的关键．