题目内容
已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点A，C的坐标分别为A（-3，0），C（1，0），tan∠BAC=
．（1）求过点A，B的直线的函数表达式；
（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP=DQ=m，问是否存在这样的m，使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）设过点A，B的直线的函数表达式为y=kx+b，利用待定系数法可解得
，
，即直线AB的函数表达式为
；
（2）过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，D点为所求．又tan∠ADB=tan∠ABC=
，CD=BC÷tan∠ADB=3÷
，可求OD=OC+CD=
，所以D（
，0）；
（3）在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=5，当PQ∥BD时，△APQ∽△ABD，解得
；当PQ⊥AD时，△APQ∽△ADB，则解得
．
解答：解：（1）∵点A（-3，0），C（1，0），
∴AC=4，BC=tan∠BAC×AC=
×4=3，B点坐标为（1，3），
设过点A，B的直线的函数表达式为y=kx+b，
由
得
，
，
∴直线AB的函数表达式为
（2）如图，过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，
在Rt△ABC和Rt△ADB中，
∵∠BAC=∠DAB，
∴Rt△ABC∽Rt△ADB，
∴D点为所求，
又tan∠ADB=tan∠ABC=
，
∴CD=BC÷tan∠ADB=3÷
，
∴OD=OC+CD=
，∴D（
，0）；
（3）这样的m存在．
在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=5，
如图1，
当PQ∥BD时，△APQ∽△ABD，则
，
解得
，
如图2，
当PQ⊥AD时，△APQ∽△ADB，
则
，
解得
．
点评：主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活的运用函数图象的性质和交点的意义求出相应的线段的长度或表示线段的长度，再结合具体图形的性质求解．
，
，即直线AB的函数表达式为
；（2）过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，D点为所求．又tan∠ADB=tan∠ABC=
，CD=BC÷tan∠ADB=3÷
，可求OD=OC+CD=
，所以D（
，0）；（3）在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=5，当PQ∥BD时，△APQ∽△ABD，解得
；当PQ⊥AD时，△APQ∽△ADB，则解得
．解答：解：（1）∵点A（-3，0），C（1，0），
∴AC=4，BC=tan∠BAC×AC=
×4=3，B点坐标为（1，3），设过点A，B的直线的函数表达式为y=kx+b，
由
得
，
，∴直线AB的函数表达式为
（2）如图，过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，
在Rt△ABC和Rt△ADB中，
∵∠BAC=∠DAB，
∴Rt△ABC∽Rt△ADB，
∴D点为所求，
又tan∠ADB=tan∠ABC=
，∴CD=BC÷tan∠ADB=3÷
，∴OD=OC+CD=
，∴D（
，0）；
（3）这样的m存在．
在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=5，
如图1，
当PQ∥BD时，△APQ∽△ABD，则
，解得
，如图2，
当PQ⊥AD时，△APQ∽△ADB，
则
，
解得
．点评：主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活的运用函数图象的性质和交点的意义求出相应的线段的长度或表示线段的长度，再结合具体图形的性质求解．
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