Question

（2011•南岸区一模）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE．
（1）求证：BE=CE；
（2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，且线段DG=2cm，BG=6cm．求线段CD的长．

Answer 1

分析：（1）由等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，根据等腰梯形同一底上的两个角相等，可证得∠BAE=∠CDE，继而可证得△BAE≌△CDE，则可证得BE=CE；
（2）首先延长CD和BE的延长线交于H，易证得△BEG≌△CEH与△GED≌△HED，则可证得BG=DG+CD，又由线段DG=2cm，BG=6cm，即可求得线段CD的长．

解答：（1）证明：∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，
∴∠BAE=∠CDE，AE=DE，
在△BAE与△CDE中，

AB=DC ∠BAE=∠CDE AE=DE

，
∴△BAE≌△CDE（SAS），
∴BE=CE；

（2）解：延长CD和BE的延长线交于H，
∵BF⊥CD，∠BEC=90°，
∴∠HEC=90°，
∴∠EBF+∠H=∠ECH+∠H=90°，
∴∠EBF=∠ECH，
在△BEG和△CEH中，

∠EBF=∠ECH BE=CE ∠BEC=∠CEH=90°

，
∴△BEG≌△CEH（ASA），
∴EG=EH，BG=CH=DH+CD，
∵△BAE≌△CDE，
∴∠AEB=∠GED，
∠HED=∠AEB，
∴∠GED=∠HED，
在△GED和△HED中，

EG=EH ∠GED=∠HED ED=ED

，
∴△GED≌△HED（SAS），
∴DG=DH，
∴BG=DG+CD，
∵DG=2cm，BG=6cm，
∴CD=BG-DG=4（cm）．

点评：此题考查了等腰梯形的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度较大，解题的关键是准确作出辅助线，利用数形结合思想求解．