Question

如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，连接BE，∠ABE=30°，BE=DE，连接BD．点M为线段DE上的任意一点，过点M作MN∥BD，与BE相交于点N．
（1）如果AB=2

3

，求边AD的长；
（2）如图1，在（1）的条件下，如果点M为线段DE的中点，连接CN．过点M作MF⊥CN，垂足为点F，求线段MF的长；
（3）试判断BE、MN、MD这三条线段的长度之间有怎样的数量关系？请证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）根据矩形的四个内角都是直角、对边相等的性质求得AB=CD，∠A=∠ADC=90°．然后在Rt△ABE中利用特殊角的三角函数值求得AB、AE、BE及DE的值；所以由AD=AE+DE求得AD的值即可；
（2）连接CM．在Rt△ABD中，利用勾股定理求得BD=4

3

，然后利用直角三角形的边角关系求得∠ADB=30°，由平行线MN∥BD的内错角相等知，∠AMN=∠ADB=30°；再由平行线MN∥BD分线段成比例求得MN的长度；最后在Rt△CDM中利用边角关系、勾股定理求解；
（3）过点E作EF⊥BD，垂足为点F（图1）．由已知条件BE=DE，EF⊥BD，求得BD=2DF；然后在Rt△DEF中，利用边角关系求得BD与BE的数量关系；再有平行线MN∥BD分线段成比例解得EN与MN的关系．

解答：解：（1）由矩形ABCD，得AB=CD，∠A=∠ADC=90°．
在Rt△ABE中，∵∠ABE=30°，AB=2

3

，
∴AE=AB•tan∠ABE=2

3

×

3

3

=2，BE=2AE=4．（2分）
又∵BE=DE，∴DE=4．
于是，由AD=AE+DE，得AD=6．（2分）


（2）连接CM．
在Rt△ABD中，BD=

AB2+AD2

=

12+36

=4

3

．（1分）
∴BD=2AB，即得∠ADB=30°．
∵MN∥BD，∴∠AMN=∠ADB=30°．（1分）
又∵MN∥BD，点M为线段DE的中点，
∴DM=EM=2，

MN

BD

=

EM

ED

=

1

2

．
∴MN=

1

2

BD=2

3

．（1分）
在Rt△CDM中，tan∠CMD=

CD

MD

=

2 3

2

=

3

．
∴∠CMD=60°，即得CM=4，∠CMN=90°．（1分）
由勾股定理，得CN=

MN2+CM2

=

12+16

=2

7

．
于是，由MF⊥CN，∠CMN=90°，
得MF=

MN•CM

CN

=

2 3 ×4

2 7

=

4 21

7

．（1分）

（3）BE=DM+

3

3

MN．（1分）
证明如下：过点E作EF⊥BD，垂足为点F．
∵BE=DE，EF⊥BD，∴BD=2DF．（1分）
在Rt△DEF中，由∠EDB=30°，
得DF=DE•cos∠EDB=

3

2

DE，即得BD=

3

BE．（1分）
∵MN∥BD，∴

MN

BD

=

EN

EB

，

DM

DE

=

BN

BE

，即得

MN

3 BE

=

EN

BE

，BN=DM．
∴EN=

3

3

MN．（1分）
于是，由BE=BN+EN，得BE=DM+

3

3

MN．

点评：本题结合矩形的性质考查了平行线分线段成比例、勾股定理的应用、直角三角形的解法．本题是利用图形间的角、边关系求解．