Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，以点M（0， ）为圆心，以 长为半径作⊙M交x轴于A，B两点，交y轴于C，D两点，连接AM并延长交⊙M于P点，连接PC交x轴于E．

（1）求出CP所在直线的解析式；

（2）连接AC，请求△ACP的面积．

Answer 1

【答案】（1）直线CP的解析式为y=3x-3；（2）△ACP的面积=12ACPC=12×23×6=63．

【解析】

试题（1）要求CP所在的直线的解析式，就必须知道C，P两点的坐标，有圆心M的坐标，有圆的半径，那么可求出OC的，OM的长，直角三角形AMO中有AM，OM的值，就能求出OA，OB的长，那么P的横坐标就求出来了，连接PB，那么OM是三角形APB的中位线，PB=2OM，已经求出了OM的长，那么PB的长也就求出来了，这样P点的坐标就求出来了，有了C，P的坐标，可根据待定系数法求出CP所在直线的解析式；

（2）求三角形ACP的面积实际上是求直角边AC，PC的长，因为三角形ACP是个直角三角形，有斜边AB的长，只要求出这个三角形中锐角的度数，即可求出直角边的长，在三角形AMO中，我们可求出∠AMO的度数，根据圆周角定理，也就求出了∠P的度数，有了锐角的度数和斜边的长，直角边就能求出来了，面积也就能求出来了．

试题解析： (1)连接PB，

∵PA是⊙M的直径，

∴∠PBA=90°，

∵DC是⊙M的直径，且垂直于弦AB，

∴DC平分弦AB，

在Rt△AMO中AM=2，OM=，

∴AO=OB=3，

又∵MO⊥AB，

∴PB∥MO，

∴PB=2OM=2，

∴P点坐标为(3，2)，

∵CM=2，OM=，

∴OC=CMOM=，

∴C(0，)，直线CP过C，P两点，

设直线CP的解析式为y=kx+b(k≠0)，

得到，

解得：，

∴直线CP的解析式为y=x；

(2)在Rt△AMO中，∠AMO=60°，

又∵AM=CM，

∴△AMC为等边三角形，

∴AC=AM=2，∠MAC=60°

又∵AP为⊙M的直径，

∴∠ACP=90°，∠APC=30°，

PC=AC=×2=6，

∴△ACP的面积=ACPC=×2×6=6.