Question

如图，一次函数y＝－4x－4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝x²＋bx＋c的图象经过A、C两点，且与x轴交于点B．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)设抛物线的顶点为D，求四边形ABDC的面积；

(3)作直线MN平行于x轴，分别交线段AC、BC于点M、N．问在x轴上是否存在点P，使得△PMN是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵一次函数y＝－4x－4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点， 　　∴A(－1，0)　C(0，－4) 　　把A(－1，0)　C(0，－4)代入y＝x2＋bx＋c得 　　∴　解得 　　∴y＝x2－x－4 　　(2)∵y＝x2－x－4＝(x－1)2－ 　　∴顶点为D(1，－) 　　设直线DC交x轴于点E 　　由D(1，－)　C(0，－4) 　　易求直线CD的解析式为y＝－x－4 　　易求E(－3，0)，B(3，0) 　　S△EDB＝×6×＝16 　　S△ECA＝×2×4＝4 　　S四边形ABDC＝S△EDB－S△ECA＝12 　　(3)抛物线的对称轴为x＝－1 　　做BC的垂直平分线交抛物线于E，交对称轴于点D3易求AB的解析式为y＝－x＋ 　　∵D3E是BC的垂直平分线 　　∴D3E∥AB 　　设D3E的解析式为y＝－x＋b 　　∵D3E交x轴于(－1，0)代入解析式得b＝－， 　　∴y＝－x－ 　　把x＝－1代入得y＝0 　　∴D3(－1，0)， 　　过B做BH∥x轴，则BH＝1 　　在Rt△D1HB中，由勾股定理得D1H＝ 　　∴D1(－1，＋)同理可求其它点的坐标． 可求交点坐标D1(－1，＋)，D2(－1，2)，D3(－1，0)，D4(－1，－)，D5(－1，－2)