题目内容
如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=900，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．
（1）图1中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；
（2）如图2，若点E在线段BC上滑动（不与点B，C重合）．
①AE=EF是否总成立？请给出证明；
②在如图2的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在抛物线
上，求此时点F的坐标．
【答案】
（1）△AGE与△ECF（2）①成立②
【解析】解：（1）如图，取AB的中点G，连接EG，则△AGE与△ECF全等。
（2）①若点E在线段BC上滑动时AE=EF总成立。证明如下：如图，
在AB上截取AM=EC，
∵AB=BC，∴BM=BE。
∴△MBE是等腰直角三角形。
∴∠AME=1800－450=1350。
又∵CF平分正方形的外角，∴∠ECF=1350。
∴∠AME=∠ECF。
又∵∠BAE+∠AEB=∠CEF+∠AEB=900，∴∠BAE=∠CEF。
∴△AME≌△ECF（ASA）。∴AE=EF。
②过点F作FH⊥x轴于H，
由①知，FH=BE=CH，设BH=a，则FH=a－1。
∴点F的坐标为F（a，a－1）。
∵点F恰好落在抛物线
上，∴
。
∴a2=2。∴
（负值不合题意，舍去）。
∴
。∴点F的坐标为。
（1）取AB的中点G，连接EG，利用SSS能得到△AGE与△ECF全等。
（2）①在AB上截取AM=EC，由ASA证得△AME≌△ECF即可证得AE=EF。
②过点F作FH⊥x轴于H，根据FH=BE=CH设BH=a，则FH=a－1，然后表示出点F的坐标，根据点F恰好落在抛物线上得到有关a的方程求得a值即可求得点F的坐标。
练习册系列答案
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