Question

如图，二次函数的图象与x轴交于两个不同的点A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴交于点C（0，3），连接BC、AC，该二次函数图象的对称轴与x轴相交于点D．

（1）求这个二次函数的解析式、
（2）点D的坐标及直线BC的函数解析式；
（3）点Q在线段BC上，使得以点Q、D、B为顶点的三角形与△ABC相似，求出点Q的坐标；
（4）在（3）的条件下，若存在点Q，请任选一个Q点求出△BDQ外接圆圆心的坐标．

Answer 1

（1）；（2）（1，0），；（3）（2，）或（，）；（4）（，）．

试题分析：（1）设二次函数为y=a（x+2）（x﹣4），把点C（0，3）代入求出a的值即可得出二次函数的解析式；
（2）由（1）中抛物线的解析式求出对称轴方程，故可得出D点坐标，利用待定系数法求出直线BC的解析式；
（3）根据勾股定理求出BC的长，由于相似三角形的对应角不能确定，故应分∠QDB=∠CAB和∠DQB=∠CAB两种情况进行讨论；
（4）当点Q的坐标为（2，）时，设圆心的M（，y），根据MD=MQ即可求出y的值，故可得出结论．
试题解析：（1）∵二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于两个不同的点A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴交于点C（0，3），
∴设二次函数为y=a（x+2）（x﹣4），把点C（0，3）代入得，a（0+2）（0﹣4）=3，解得，
∴这个一次函数的解析式为：；
（2）∵，∴抛物线的对称轴是直线，∴点D的坐标为（1，0）．设直线BC的解析式为；，∴，解得，∴直线BC的解析式为．
（3）∵A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3），D（1，0），∴OD=1，BD=3，CO=3，BO=4，AB=6，∴BC=，
如图1，当∠QDB=∠CAB时，=，=，解得QB=，过点Q作QH⊥x轴于点H，∵OC⊥x轴，∴QH∥CO．∴=．解得QH=．把代入，得．∴此时，点Q的坐标为（2，）；
如图2，当∠DQB=∠CAB时，=，即=，得QB=．过点Q作QG⊥x轴于点G，∵OC⊥x轴，∴QG∥CO．∴=．解得QG=．把代入，得．∴此时，点Q的坐标为（，）．
综上所述，点Q坐标为（2，）或（，）；
（4）当点Q的坐标为（2，）时，设圆心的M（，y）．∵MD=MQ，∴，解得，∴M（，）．