题目内容
在△ABC中，∠BAC=90°，AB＜AC，M是BC边的中点，MN⊥BC交AC于点N，动点P在线段BA上以每秒
cm的速度由点B向点A运动．同时，动点Q在线段AC上由点N向点C运动，
且始终保持MQ⊥MP． 一个点到终点时，两个点同时停止运动．设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）△PBM与△QNM相似吗？请说明理由；
（2）若∠ABC=60°，AB=4
cm．
①求动点Q的运动速度；
②设△APQ的面积为s（cm2），求S与t的函数关系式．（不必写出t的取值范围）
（3）探求BP2、PQ2、CQ2三者之间的数量关系，请说明理由．
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且始终保持MQ⊥MP． 一个点到终点时，两个点同时停止运动．设运动时间为t秒（t＞0）．（1）△PBM与△QNM相似吗？请说明理由；
（2）若∠ABC=60°，AB=4
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①求动点Q的运动速度；
②设△APQ的面积为s（cm2），求S与t的函数关系式．（不必写出t的取值范围）
（3）探求BP2、PQ2、CQ2三者之间的数量关系，请说明理由．
分析：（1）由条件可以得出∠BMP=∠NMQ，∠B=∠MNC，就可以得出△PBM∽△QNM；
（2）①根据直角三角形的性质和中垂线的性质BM、MN的值，再由△PBM∽△QNM就可以求出Q的运动速度；
②先由条件表示出AN、AP和AQ，再由三角形的面积公式就可以求出其解析式；
（3）延长QM到D，使MD=MQ，连接PD、BD、BQ、CD，就可以得出四边形BDCQ为平行四边形，再由勾股定理和中垂线的性质就可以得出PQ2=CQ2+BP2．
（2）①根据直角三角形的性质和中垂线的性质BM、MN的值，再由△PBM∽△QNM就可以求出Q的运动速度；
②先由条件表示出AN、AP和AQ，再由三角形的面积公式就可以求出其解析式；
（3）延长QM到D，使MD=MQ，连接PD、BD、BQ、CD，就可以得出四边形BDCQ为平行四边形，再由勾股定理和中垂线的性质就可以得出PQ2=CQ2+BP2．
解答：解：（1）△PBM∽△QNM．理由：
∵MQ⊥MP，MN⊥BC，
∴∠PMN+∠PMB=90°，∠QMN+∠PMN=90°，
∴∠PMB=∠QMN．
∵∠B+∠C=90°，∠C+∠MNQ=90°，
∴∠B=∠MNQ，
∴△PBM∽△QNM．
（2）∵∠BAC=90°，∠ABC=60°，
∴BC=2AB=8
cm．AC=12cm，
∵MN垂直平分BC，
∴BM=CM=4
cm．
∵∠C=30°，
∴MN=
CM=4cm．
①设Q点的运动速度为vcm/s．
∵△PBM∽△QNM．
∴
=
，
∴
=
，
∴v=1，
答：Q点的运动速度为1cm/s．
②∵AN=AC-NC=12-8=4cm，
∴AP=4
-
t，AQ=4+t，
∴S=
AP•AQ=
（4
-
t）（4+t）=-
t2+8
．（0＜t≤4）
当t＞4时，AP=-
t+4
=（4-t）
．
则△APQ的面积为：S=
AP•AQ=
（-
t+4
）（4+t）=
t2-8
．
（3）PQ2=CQ2+BP2．
理由：延长QM到D，使MD=MQ，连接PD、BD、BQ、CD，
∵M是BC边的中点，
∴BM=CM，
∴四边形BDCQ是平行四边形，
∴BD∥CQ，BD=CQ．
∴∠BAC+∠ABD=180°．
∵∠BAC=90°，
∴∠ABD=90°，
在Rt△PBD中，由勾股定理得：
PD2=BP2+BD2，
∴PD2=BP2+CQ2．
∵MQ⊥MP，MQ=MD，
∴PQ=PD，
∴PQ2=BP2+CQ2．
∵MQ⊥MP，MN⊥BC，
∴∠PMN+∠PMB=90°，∠QMN+∠PMN=90°，
∴∠PMB=∠QMN．
∵∠B+∠C=90°，∠C+∠MNQ=90°，
∴∠B=∠MNQ，
∴△PBM∽△QNM．
（2）∵∠BAC=90°，∠ABC=60°，
∴BC=2AB=8
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∵MN垂直平分BC，
∴BM=CM=4
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∵∠C=30°，
∴MN=
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①设Q点的运动速度为vcm/s．
∵△PBM∽△QNM．
∴
| NQ |
| BP |
| MN |
| MB |
∴
| vt | ||
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| 4 | ||
4
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∴v=1，
答：Q点的运动速度为1cm/s．
②∵AN=AC-NC=12-8=4cm，
∴AP=4
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∴S=
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当t＞4时，AP=-
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则△APQ的面积为：S=
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（3）PQ2=CQ2+BP2．
理由：延长QM到D，使MD=MQ，连接PD、BD、BQ、CD，
∵M是BC边的中点，
∴BM=CM，
∴四边形BDCQ是平行四边形，
∴BD∥CQ，BD=CQ．
∴∠BAC+∠ABD=180°．
∵∠BAC=90°，
∴∠ABD=90°，
在Rt△PBD中，由勾股定理得：
PD2=BP2+BD2，
∴PD2=BP2+CQ2．
∵MQ⊥MP，MQ=MD，
∴PQ=PD，
∴PQ2=BP2+CQ2．
点评：本题是一道运用相似的相关知识解答的综合试题，考查了相似三角形的判定与性质的运用，三角形的面积公式的运用，平行四边形的判定与性质的运用，中垂线的判定与性质的运用，解答本题时求出△PBM∽△QNM是关键．正确作出辅助线是难点．
练习册系列答案
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；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x．
如图所示，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从点A出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动，同时点Q从C点出发，沿CA以3cm/s的速度向点A运动，设运动时间为x秒．
如图所示，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从点A出发，沿AB以每秒4cm，的速度向点B运动，同时点Q从C点出发，沿CA以3cm/s的速度向点A运动，设运动时间为x秒．